Cauchy yakınsaklık testi

Cauchy yakınsaklık testi, sonsuz serilerin yakınsaklığını bulmak için kullanılan test yöntemlerinden birisidir. Bu yakınsama ölçütü, bu yöntemi 1821'de yazdığı Cours d'Analyse adlı ders kitabında yayınlayan Augustin-Louis Cauchy'nin adını taşımaktadır.

İfade

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ serisinin yakınsaklığı ancak ve ancak her $\epsilon >0$ için

$n>N$ olan tüm $n$ 'ler ve $p\ge 1$ için $|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\epsilon$

önermesini sağlayan bir N$\in \mathbb{N}$ sayısı varsa mümkündür.

Açıklama

Bu testin geçerli olmasının sebebi $ℝ$ veya $ℂ$ gibi uzayların tam metrik uzay olmasıdır. Çünkü, metrik uzay bağlamında serilerin yakınsaklığı ancak ve ancak kısmî toplamların yani $s_n:=\sum _{i=0}^n{a}_i$ dizilerinin bir Cauchy dizisi olmasıyla mükündür. Burada bahsedilen Cauchy dizisinin tanımı ise şudur: Her $\epsilon >0$ için bir N sayısı vardır öyle ki her n, m > N için $|s_m-s_n|<\epsilon$ sağlanır.

Serilerin tam metrik uzaylardaki yakınsaklığının Cauchy dizisi tanımına taşınabilmesinin altında yatan gerçek metrik uzaylarda bütün Cauchy dizilerinin aslında yakınsak olduğudur.

Ayrıca bakınız

• Seri
• Yakınsak seriler