Cauchy dizisi

Augustin Cauchy

Cauchy dizisi tanımı

$(x_n{)}_n$ bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer her $ϵ>0$ için,

$|x_n-x_m|<ϵ$ eşitsizliğinin her $n,m>N$ ($N\in \mathbb{N}$) için sağlandığı bir $N$ göstergeci varsa, $(x_n{)}_n$ dizisine Cauchy dizisi denir.

Cauchy dizisi ile ilgili teoremler

Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir

İspat:

$(x_n{)}_n$ yakınsak bir gerçel sayı dizisi ve $ϵ>0$ herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine $a$ diyelim. Demek ki, öyle bir $N$ doğal sayısı vardır ki, her $n>N$ için,

$|x_n-a|<\frac{ϵ}{2}$ olur. Dolayısıyla, $n,m>N$ için, $|x_n-x_m|=|(x_n-a)-(x_m-a)|\le |x_n-a|+|x_m-a|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$ olur ve kanıt biter $◻$.

Her Cauchy dizisi sınırlıdır

İspat:

$(x_n{)}_n$ bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki $ϵ$'u, $ϵ=1$ seçelim. Demek ki, öyle bir $N$ göstergeci vardır ki, her $n,m>N$ için,

$|x_n-x_m|<1$ olur. Demek ki, her $n>N$ için, $|x_n-x_{N+1}|$ olur; bir başka deyişle,

$x_{N+1}-1<x_n<x_{N+1}+1$ olur.

$b=\max \{x_0,x_1,...,x_N,x_{N+1}+1\}$ ve $a=\min \{x_0,x_1,...,x_N,x_{N+1}-1\}$ diye tanımlayalım.

O zaman, her için, $a<x_n<b$ olur ve ispat biter $◻$.

Bir Cauchy dizisinin her altdizisi Cauchy'dir

İspat:

$(x_n{)}_n$, bir Cauchy dizisi, $(x_{n_k}{)}_k$ dizisi de bu dizinin altdizisi olsun.$ϵ>0$ herhangi bir sayı olsun.Öyle bir $N$ var ki, her $n,m>N$ için, $|x_n-x_m|<ϵ$ dir.

Eğer $k,l>N$ ise $N<k\le n_k$ ve $N<l\le n_l$ olduğundan, $|x_{n_k}-x_{n_l}|<ϵ$ olur. $◻$.

Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar

İspat:

$(x_n{)}_n$ Cauchy dizisi olsun ve $(x_{n_k}{)}_k$ bu dizinin altdizisi olsun. Teoremde belirtildiği üzere bu altdizi yakınsakmış (diyelim ki "$a\in ℝ$" ya yakınsasın), tanımı yazarsak,

$n_k,k>N$ ve $\mathrm{\forall }ϵ>0$ için $|x_{n_k}-a|<ϵ/2$ önermesi doğrudur. Kanıtlamak istediğimiz $\mathrm{\forall }ϵ>0$ için $|x_n-a|<ϵ$ önermesi olduğundan bu önermeyi açalım;

$|x_n-a|=|(x_n-x_{n_k})+(x_{n_k}-a)|\le \underset{1}{\underbrace{|x_n-x_{n_k}|}}+\underset{2}{\underbrace{|x_{n_k}-a|}}$

2. ifade altdizinin tanımından dolayı $ϵ/2$'den küçüktür,

1. ifade ise, $n_k>n>N$ olduğundan bir Cauchy dizisidir ve $|x_n-x_{n_k}|<ϵ/2$ olarak doğrudur.

İspatlamak istediğimiz ifadeyi tekrar yazarsak,

$n_k>n>N$ ve $\mathrm{\forall }ϵ>0$ için $|x_n-a|\le |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-a|<ϵ/2+ϵ/2=ϵ$

ve ispat biter $◻$.

Her Cauchy dizisinin $ℝ$'de bir limiti vardır

İspat: $(x_n{)}_n$ verilmiş bir Cauchy dizisi olsun.(Yukarıdaki teoremleri ve verilen kaynaklardaki teoremleri kullanarak.)

1. $(x_n{)}_n$'nin monoton bir $(y_n{)}_n$ altdizisi bulunur.
2. $(x_n{)}_n$ bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır. Demek ki $(y_n{)}_n$ altdizisi de sınırlıdır.
3. Monoton ve sınırlı olduğundan, $(y_n{)}_n$ dizisi yakınsaktır.
4. $1,2,3$ maddelerden, $(x_n{)}_n$ dizisinin yakınsak olduğu görülür.

Dolayısıyla, $ℝ$ tamdır ve ispat biter. $◻$.

Formal ispat:

$ℝ$'de (hatta metrik uzaylarda) yakınsak her dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek kolay. Bu yüzden $ℝ$'deki herhangi bir Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu gösterirsek ispat biter. Burada gerçel sayılar kümesi üzerinde alışılmış metriğin olduğunu varsayıyoruz. Farklı metrikler söz konusu olduğunda iddia doğru olmayabilir.

$(x_n{)}_n,ℝ$'de bir Cauchy dizisi ve $ϵ>0$ olsun.

$\begin{array}{c}(x_n{)}_n\in {ℝ}^{\mathbb{N}}\text{ Cauchy dizisi}\\ ϵ>0\end{array}\}\Rightarrow (\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n,m\ge N(ϵ))(|x_n-x_m|<\frac{ϵ}{2})$

$\Rightarrow (\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\ge N(ϵ))(|x_n-x_{N(ϵ)}|<\frac{ϵ}{2})$

$\Rightarrow (\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\ge N(ϵ))(x_{N(ϵ)}-\frac{ϵ}{2}<x_n<x_{N(ϵ)}+\frac{ϵ}{2})$

$\Rightarrow (\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\ge N(ϵ))(x_n\in A:=(x_{N(ϵ)}-\frac{ϵ}{2},x_{N(ϵ)}+\frac{ϵ}{2}))$

$\Rightarrow (\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\ge N(ϵ))(x_n\in B_N:=\{x_{N(ϵ)},x_{N(ϵ)+1},x_{N(ϵ)+2},...\}\subseteq A)$

$\Rightarrow (\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\ge N(ϵ))(|B_N|\le {\mathrm{\aleph }}_0)(x_{N(ϵ)}-\frac{ϵ}{2}\in B_N^l\ne \mathrm{\varnothing })(x_{N(ϵ)}+\frac{ϵ}{2}\in B_N^u\ne \mathrm{\varnothing })$

$\Rightarrow (\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\ge N(ϵ))(\mathrm{\exists }x\in ℝ)(x=\sup B_N)(x_{N(ϵ)}-\frac{ϵ}{2}\le x\le x_{N(ϵ)}+\frac{ϵ}{2})$

$\Rightarrow (\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\ge N(ϵ))(|x-x_{N(ϵ)}|\le \frac{ϵ}{2})$

$\Rightarrow (\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n\ge N(ϵ))(|x_n-x|\le |x_n-x_{N(ϵ)}|+|x_{N(ϵ)}-x|<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ).$ $◻$

Dipnotlar

https://web.archive.org/web/20170111210130/http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=22

Apostol-Mathematical_Analysis[Tom_M.Apostol] Second_Edition.

Temel Analiz(Analiz I(Bir))-[Ali Nesin]

http://matkafasi.com/20940/ustten-sinirli-ve-artan-bir-dizinin-limiti-vardir Şablon:Webarşiv

http://matkafasi.com/106636/dizisinin-mathbb-limiti-vardir-yakinsak-cauchy-dizisidir Şablon:Webarşiv