Çebışov-Markov-Stieltjes eşitsizlikleri

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Çebışov-Markov-Stieltjes eşitsizlikleri moment problemleriyle alakalı eşitsizliklerdir. Kabaca, verilen bir ölçünün üstten ve alttan kestirimini birinci moment cinsinden veren eşitsizliklerdir. Bu tür eşitsizlikler 1880lerde Pafnuti Çebışov tarafından formüle edilmişlerdir; daha sonra, Andrey Markov ve bundan biraz daha sonra Thomas Jan Stieltjes tarafından ispatlanmışlardır.

Eşitsizliklerin ifadesi

m₀,...,m_2m-1 ∈ R verilmiş olsun ve k = 0,1,...,2m − 1 olmak üzere $ℝ$ üzerinde

$\int x^{k}d\mu (x)=m_k$

tümlevlerini (integrallerini) tanımlı ve sonlu yapan μ ölçüleri ailesi C ele alınsın. P₀,P₁, ...,P_m, μ ∈ C'ye göre alınan, ilk m + 1 dikgen polinom olsun. ξ₁,...ξ_m ise P_m polinomlarının sıfırları olsun. O zaman, P₀,P₁, ...,P_m-1 ve ξ₁,...ξ_m sayıları her μ ∈ C için aynı kalacaktır. Bu yüzden, m₀,...,m_2m-1 sayıları bu polinomları ve sıfırlarını biricik olacak şekilde üretirler.

Bu gösterimler altında Çebışov-Markov-Stieltjes eşitsizlikleri şunu ifade eder:
${\rho }_{m-1}(z)=1/\sum _{k=0}^{m-1}|P_k(z){|}^2$ olmak üzere, her j = 1,2,...,m ve her μ ∈ C için

$\mu (-\mathrm{\infty },{\xi }_j]\le {\rho }_{m-1}({\xi }_1)+\cdots +{\rho }_{m-1}({\xi }_j)\le \mu (-\mathrm{\infty },{\xi }_{j+1})$

eşitsizliği vardır.