0,999...

$0, \underline{9}$ , $0, \bar{9}$ veya $0, \dot{9}$ şekillerinde gösterilen ve 1'e eşit olan matematiksel ifade. Bu eşitliğin ispatları:

Cebirsel ispatlar

Her rasyonel ifade sonlu sayıda rakam barındıran ondalık sayılarla ifade edilemez. Mesela;

\frac{5}{9} = 0, \bar{5}

\frac{1}{3} = 0, \bar{3}

gibi. Eğer ikinci eşitliğin her iki tarafını 3 ile çarpacak olursak

\frac{3}{3} = 3 \times 0, \bar{3}

1 = 0, \bar{9}

elde ederiz.

0,9 sayımıza matematik dilinde bilinmeyen ifadelere verilen x diyelim.

x = 0, \bar{9}

Her iki tarafı 10 ile çarpalım.

10 x = 9, \bar{9}

Her iki taraftan sayının kendisini, yani x i çıkaralım

9 x = 10 x - x = 9, \bar{9} - 0, \bar{9} = 9

Sadeleştirelim.

x = 1_

Sayımızı limit dilinde ifade edelim:

0, \bar{9} \dots = \lim_{n \to \infty} 0, \underset{n}{\underset{⏟}{99 \dots 9}} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{9}{1 0^{k}} = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{1 0^{n}})

n sonsuza giderken $\frac{1}{1 0^{n}}$ ifadesi 0'a eşittir. Dolayısıyla;

= 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 0^{n}} = 1

dir.

Teorem: $| r | < 1$ ve a sabit sayı olmak üzere $a r + a r^{2} + a r^{3} + \dots = \frac{a r}{1 - r}$ dir.

Genel terimi $r = \frac{1}{10}$ ve sabit sayısı 9 olan seri 0, (9)dur. Teorimizi sayımıza uygularsak

0, \bar{9} \dots = 9 (\frac{1}{10}) + 9 (\frac{1}{10})^{2} + 9 (\frac{1}{10})^{3} + \dots = \frac{9 (\frac{1}{10})}{1 - \frac{1}{10}} = 1 .

olduğunu görebiliriz.