1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

Tüm doğal sayıların toplamını belirten ve

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n,$

şeklinde de yazılabilen 1 + 2 + 3 + 4 + · · · ifadesi bir ıraksak seridir. Serinin ilk n teriminin toplamı

$\frac{n(n+1)}{2}$

formülüyle hesaplanır.

Serinin bütününün ilk bakışta anlamsız görünmesi yanıltıcıdır. Serinin farklı biçimlerdeki yazımları karmaşık çözümleme, kuantum teorisi ve sicim kuramı alanları için işe yarar sonuçlar üretir.

Kısmi toplam formülünün kanıtı

n'ye değin doğal sayıların toplamının $\frac{n(n+1)}{2}$ olduğu birkaç farklı yöntemle gösterilebilir. İlk olarak aşağıdaki eşitlik kurulu olsun.

$S_n=1+2+3+4+\cdots +(n-2)+(n-1)+n.$

Terimler sondan başa doğru sıralandığında

$S_n=n+(n-1)+(n-2)+\cdots +4+3+2+1.$

ifadesi elde edilir. Bu ifade önceki ile toplanırsa

$2S_n=\underset{n}{\underbrace{(n+1)+((n-1)+2)+((n-2)+3)+\cdots +(3+(n-2))+(2+(n-1))+(1+n)}}$

$2S_n=\underset{n}{\underbrace{(n+1)+(n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)+(n+1)}}$

$2S_n=n\cdot (n+1)$

$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$

sonucuna ulaşılır.

Zeta fonksiyonunun toplamı ve analitik sürekliliği

$1+2+3+4+\cdots$ ifadesinin Ramanujan toplamı, $-\frac{1}{12}$'dir.

s'nin gerçel kısmı 1'den büyükse s'nin Riemann zeta fonksiyonu $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}$ toplamına eşit olur. Bu toplam, s'nin 1'e eşit ya da 1'den küçük olması durumunda ıraksar, ancak s = −1 ise ζ(s)'nin analitik sürekliliği $-\frac{1}{12}$'ye eşit olur.

Fizikteki kullanımı

Bozonik sicim kuramında ana amaç bir sicimin sahip olduğu erke düzeylerinin hesaplanmasıdır. Sicimin her armonisi $D$ bağımsız kuantum harmonik titreşiminden oluşan bir çokluk olarak görülebilir. Burada $D$, uzayzaman boyutunu belirtir. Temel titreşim sıklığı $\omega$ ise $n$. armoniye karşılık gelen erke miktarı $n\hslash \omega /2$'dir. Iraksak seri kullanıldığında tüm armonilerin toplamının $-\hslash \omega D/24$ olduğu görülür. Böylece, biyonik sicim kuramının 26 dışındaki boyutlarda tutarlı olmadığı kanıtlanmış olur.

Casimir kuvvetinin belirmesinde de benzer bir hesaba gereksinim duyulur.

Tarihi

Srinivasa Ramanujan'ın G. H. Hardy'ye yazdığı 27 Şubat 1913 tarihli ikinci mektupta şöyle denilmektedir:

Ayrıca bakınız

• Sonsuz aritmetik seriler
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·

Kaynakça

• Şablon:Kitap kaynağı

• Şablon:Kitap kaynağı

Bibliyografya

• Şablon:Akademik dergi kaynağı

• Şablon:Kitap kaynağı

• Şablon:Kitap kaynağı

Dış bağlantılar

• Bu Haftanın Matematiksel Fizikle İlgili Buluşları;
  • Şablon:Web kaynağı,
  • Şablon:Web kaynağı,
  • Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı