Açıortay teoremi

Şablon:Ortala

Geometride açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarıyla ilgilidir. Göreli uzunluklarını, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşitler.

Teorem

Bir $\mathrm{△}ABC$ üçgeni düşünün. $\mathrm{\angle }A$ açısının açıortayının $B$ ile $C$ arasındaki $D$ noktasında $BC$ kenarını kesmesine izin verin. Açıortay teoremi, $BD$ doğru parçasının uzunluğunun $DC$ parçasının uzunluğuna oranının $AB$ kenarının uzunluğunun $AC$ kenarının uzunluğuna oranına eşit olduğunu belirtir:

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|AC|},$

ve tersine, $\mathrm{△}ABC$ üçgeninin $BC$ kenarındaki $D$ noktası $BC$'yi $AB$ ve $AC$ kenarları ile aynı oranda bölerse, daha sonra $AD$, $\mathrm{\angle }A$ açısının açıortayıdır.

Genelleştirilmiş açıortay teoremi, eğer $D$, $BC$ doğrusu üzerinde yer alıyorsa, o zaman

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|\sin \mathrm{\angle }DAB}{|AC|\sin \mathrm{\angle }DAC}.$

$AD$, $\mathrm{\angle }BAC$'nin açıortayıysa bu ifade, önceki sürüme indirgenir. $D$, $BC$ bölümünün dışında olduğunda, hesaplamada yönlendirilmiş çizgi bölümleri ve yönlendirilmiş açılar kullanılmalıdır.

Açıortay teoremi, açıortayları ve yan uzunlukları bilindiğinde yaygın olarak kullanılır. Bir hesaplamada veya bir ispatta kullanılabilir.

Teoremin doğrudan bir sonucu, bir ikizkenar üçgenin tepe açısının açıortayının aynı zamanda karşı kenarı ikiye böldüğüdür.

İspatlar

İspat 1

Yukarıdaki diyagramda, $\mathrm{△}ABD$ ve $\mathrm{△}ACD$ üçgenlerinde sinüs teoremi kullanıldığında:

$\mathrm{\angle }BDA$ ve $\mathrm{\angle }ADC$ açıları doğrusal bir çift oluşturur, yani bitişik bütünler açılar'dır. Bütünler açılar eşit sinüslere sahip olduğundan,

$\sin \mathrm{\angle }BDA=\sin \mathrm{\angle }ADC.$

$\mathrm{\angle }BAD$ ve $\mathrm{\angle }DAC$ açıları eşittir. Bu nedenle, denklemlerin sağ tarafları (Şablon:EquationNote) ve (Şablon:EquationNote) eşittir, bu nedenle sol tarafları da eşit olmalıdır.

$\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|AC|},$

bu da açıortay teoremi'dir.

$\mathrm{\angle }BAD$ ve $DAC$ açıları eşit değilse, denklemler (Şablon:EquationNote) ve (Şablon:EquationNote) şu şekilde yeniden yazılabilir:

$\frac{|AB|}{|BD|}\sin \mathrm{\angle }BAD=\sin \mathrm{\angle }BDA,$

$\frac{|AC|}{|DC|}\sin \mathrm{\angle }DAC=\sin \mathrm{\angle }ADC.$

$\mathrm{\angle }BDA$ ve $\mathrm{\angle }ADC$ açıları hala bütünlerdir, bu nedenle bu denklemlerin sağ tarafları hala eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:

$\frac{|AB|}{|BD|}\sin \mathrm{\angle }BAD=\frac{|AC|}{|DC|}\sin \mathrm{\angle }DAC,$

bu ifade, teoremi "genelleştirilmiş" versiyona göre yeniden düzenler.

İspat 2

$D$, $BC$ doğrusu üzerinde bir nokta olsun, $B$ veya $C$'ye eşit olmasın ve $AD$, $\mathrm{△}ABC$ üçgeninin bir yüksekliği olmasın (yani $BD$ doğrusuna dik olmasın).

$B_1$, $\mathrm{△}ABD$ üçgeninin $B$ noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun ve $C_1$, $\mathrm{△}ACD$ üçgeninin $C$ noktasından çizilen yüksekliğinin tabanı olsun. Daha sonra, $D$ kesinlikle $B$ ile $C$ arasındaysa, $B_1$ veya $C_1$'den biri ve yalnızca biri, $\mathrm{△}ABC$ üçgeninin içinde yer alır ve $B_1$'in genelliği kaybetmeden yaptığı varsayılabilir. Bu durum yandaki şekilde tasvir edilmiştir. $D$, $BC$ segmentinin dışında yer alıyorsa, o zaman ne $B_1$ ne de $C_1$ üçgenin içinde yer alır.

$\mathrm{\angle }D{B}_{1}B$ ve $\mathrm{\angle }D{C}_{1}C$ dik açılar iken, $D$, $BC$ segmentinde yer alıyorsa (yani, $B$ ve $C$ arasında) $\mathrm{\angle }{B}_{1}DB$ ve $\mathrm{\angle }{C}_{1}DC$ açıları eş açılardır ve dikkate alınan diğer durumlarda aynıdır, bu nedenle üçgenler $\mathrm{△}D{B}_{1}B$ ve $\mathrm{△}D{C}_{1}C$ benzerdir (AAA), yani

$\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{|B{B}_1|}{|C{C}_1|}=\frac{|AB|\sin \mathrm{\angle }BAD}{|AC|\sin \mathrm{\angle }CAD}.$

$D$ bir yüksekliğin tabanıysa, o zaman,

$\frac{|BD|}{|AB|}=\sin \mathrm{\angle }BAD\text{ ve }\frac{|CD|}{|AC|}=\sin \mathrm{\angle }DAC,$

ve genelleştirilmiş biçime ulaşılır.

İspat 3

Şablon:Ortala

Hızlı bir kanıt, $A$'daki açıortay ile oluşturulan $\mathrm{△}BAD$ ve $\mathrm{△}CAD$ üçgenlerinin alanlarının oranlarına bakılarak elde edilebilir. Bu alanları farklı formüller kullanarak iki kez hesaplamak, yani $g$ taban ve $h$ yükseklik olmak üzere $\frac{1}{2}gh$ şeklinde ve $a$, $b$ kenarlar ve bu kenarlar arasındaki açı $\gamma$ olmak üzere $\frac{1}{2}ab\sin (\gamma )$ şeklinde hesaplamak mümkün olup istenen sonucu verecektir.

$h$, tabanı $BC$ olan üçgenlerin yüksekliği ve $\alpha$ $A$'daki açının yarısı olsun. Sonra,

$\frac{|\mathrm{△}ABD|}{|\mathrm{△}ACD|}=\frac{\frac{1}{2}|BD|h}{\frac{1}{2}|CD|h}=\frac{|BD|}{|CD|}$

ve

$\frac{|\mathrm{△}ABD|}{|\mathrm{△}ACD|}=\frac{\frac{1}{2}|AB||AD|\sin (\alpha )}{\frac{1}{2}|AC||AD|\sin (\alpha )}=\frac{|AB|}{|AC|}$

buradan da

$\frac{|BD|}{|CD|}=\frac{|AB|}{|AC|}$

bulunur.

Dış açıortaylar

Şablon:Ortala

Eşkenar olmayan bir üçgendeki dış açıortaylar için, üçgen kenarlarının uzunluklarının oranları arasında benzer denklemler vardır. Daha doğrusu, $A$'daki dış açıortay $E$'de uzatılmış kenar $BC$ ile kesişiyorsa, $B$'deki dış açıortay $D$'de uzatılmış kenar $AC$ ile kesişir ve $C$'deki dış açı açıortay $AB$ uzatılmış kenar ile $F$'de kesişir, ardından aşağıdaki denklemler geçerli olur:$\frac{|EB|}{|EC|}=\frac{|AB|}{|AC|}$, $\frac{|FB|}{|FA|}=\frac{|CB|}{|CA|}$, $\frac{|DA|}{|DC|}=\frac{|BA|}{|BC|}$

Dış açıortayları ile uzatılmış üçgen kenarları $D$, $E$ ve $F$ arasındaki üç kesişme noktası eşdoğrusaldır, yani bir ortak çizgi üzerindedir.

Tarihçe

Açıortay teoremi, Öklid'in Elemanları Kitap VI'nın Önerme 3'ü olarak görünür. Şablon:Harvtxt'e göre, dış açıortay için karşılık gelen ifade Robert Simson tarafından verildi ve Pappus bu sonucu kanıt olmadan doğru varsaydı. Heath, Augustus De Morgan'ın iki ifadenin aşağıdaki gibi birleştirilmesini önerdiğini söyler:

Konuyla ilgili yayınlar

• Şablon:Kaynak

Dış bağlantılar

• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı