Asal omega fonksiyonu

Sayılar teorisi'nde asal omega fonksiyonları $\omega (n)$ ve $\mathrm{\Omega }(n)$, $n$ doğal sayısının asal çarpanlarının sayısını hesaplamak için kullanılır. $\omega (n)$ (küçük omega) fonksiyonu $n$ doğal sayısının birbirinden farklı asal çarpanlarının sayısını hesaplarken $\mathrm{\Omega }(n)$ (büyük omega) fonksiyonu sayının toplam asal çarpan sayısını hesaplar. Yani birbirinden farklı $p_i(1\le i\le k)$ asal sayıları için $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}...p_k^{{\alpha }_k}$ ise $\omega (n)=k$ ve $\mathrm{\Omega }(n)={\alpha }_1+...+{\alpha }_k$ olur.

Özellikler ve ilişkiler

$\omega (n)=\sum _{p|n}1$

Eğer $p$, $n$'yi en az bir kere bölüyorsa $\omega (n)$'de $p$ sadece bir kere sayılır. Örneğin: $\omega (63)=\omega (3^{2}7)=1+1=2$.

$\mathrm{\Omega }(n)=\sum _{p^{\alpha }|n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha$

Eğer $p^{\alpha }\parallel n$ yani $p$, $n$'yi tam olarak $\alpha$ kez bölüyor ise $\mathrm{\Omega }(n)$'de $p^{\alpha }\parallel n$ sağlayan $\alpha$ doğal sayıları toplanır. Örneğin: $\mathrm{\Omega }(200)=\mathrm{\Omega }(2^3{5}^2)=3+2=5$.

$\mathrm{\Omega }(n)\ge \omega (n)$

Eğer $\mathrm{\Omega }(n)=\omega (n)$ ise $n$, 1 dışında herhangi bir tam sayının karesine bölünmez. Bu eşitlik sağlanırsa Möbius fonksiyonu bu şekilde yazılabilir:

$\mu (n)=(-1{)}^{\omega (n)}=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)}$

$\mathrm{\Omega }(n)=1$ ise $n$ bir asal sayıdır.

Karmaşık düzleme devamlılık

$\omega (n)$ fonksiyonunun her yerde analitik olmayan bir devamlılığı bulundu:

$\omega (z)={\log }_2(\sum _{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\mathrm{sinc}\left(\prod _{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}(x^2+x-yz)\right))$

Not: Burada $\mathrm{sinc}(x)$, $\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}$'i ifade etmektedir.

Dirichlet serileri

$\omega (n)$'yi ve Riemann zeta fonksiyonu'nu içeren bir Dirichlet serisi bu şekilde verilmiştir:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{\omega (n)}{n}^{-s}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^2(n)n^{-s}=\frac{{\zeta }^2(n)}{\zeta (2n)},\mathrm{\Re }(s)>1$