Bergman uzayı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Bergman uzayı kompleks koordinat uzayının bir D bölgesinde tanımlı holomorf fonksiyonlardan oluşan bir fonksiyon uzayıdır. Uzay, Stefan Bergman'ın adını taşımaktadır. Daha matematiksel bir ifadeyle, Bergman uzayı olan $A^p(D)$, $D$ üzerinde tanımlı ve p-normu sonlu olan holomorf fonksiyonlardan oluşmaktadır.

Gösterim hakkında

Bergman uzaylarının gösterimi hakkında bir uzlaşım yoktur. Karmaşık düzlemdeki analitik fonksiyonlar çalışıldığında $L_{\alpha }^p(D)$ ya da $L_a^p(D)$ gösterimi yaygındır; buradaki, $\alpha$ ya da $a$ harfi fonksiyonun analitik (holomorf fonksiyonların analitikliği maddesine bakınız) olduğunu simgelemek için eklenmiştir. Alt ve üst indekslerin başka özellikler için kullanılması gerektiği durumlarda, kullanımının zorluk çıkarmayacağı düşünülerek $A^p(D)$ veya ${𝒜}^p(D)$ de kullanılmaktadır. Yine, $L_{\alpha }^p(D)$ kullanımına paralel olarak $L^{p,h}(D)$ kullanımı da vardır ve $h$ harfi fonksiyonun holomorf olduğunu simgeler.

Tanımı

$D\subset {ℂ}^n$ açık küme, $dV$ ise $D$ üzerindeki Öklid hacim formu olsun. $D$ üzerinde tanımlı holomorf fonksiyonlar uzayı $H(D)$ ile gösterilsin. $0<p<\mathrm{\infty }$ için, $L^p(D)$ ise Lebesgue uzayı olsun. Bu gösterimler altında,

$A^p(D):=L^p(D)\cap H(D)$

şeklinde tanımlanan ve $L^p(D)$ uzayının normunu alan uzaya $D$ üzerinde tanımlı Bergman uzayı denir. Diğer deyişle, $f$ fonksiyonunun Bergman uzayında olması için,

• $f$ inin holomorf olması
• Aşağıdaki gibi tanımlı $L^p(D)$'de olma koşulunu sağlaması gerekir:

$\Vert f{\Vert }_{A^p(D)}={(\underset{D}{\int }|f(z){|}^{p}dV(z))}^{1/p}<\mathrm{\infty }.$

$p=2$ olmadığı durumlarda, bazen bu duruma vurgu yapmak için p-Bergman uzayı ifadesi de kullanılır.

Özellikler

• Yukarıda verilen $\Vert \cdot {\Vert }_{A^p(D)}$ tanımı ancak $p\ge 1$ ise gerçek bir normdur.
• $p\ge 1$ ise, Bergman uzayları Banach uzayıdır. Bu sonuç, $D$'nin tıkız bir $K$ altkümesi üzerindeki şu kestirimin bir sonucu olarak elde edilebilir:

$\underset{z\in K}{\sup }|f(z)|\le C_K\Vert f{\Vert }_{L^p(D)}.$

Bu yüzden, $L^p(D)$'deki holomorf fonksiyonlar dizisinin yakınsaklığı ayrıca bu dizinin tıkız yakınsak olduğunu verir. Böylece, limit fonksiyonu da holomorftur.

• $p=2$ olduğu durumlarda uzay üzerinde iç çarpım şu şekilde belirlenebilir:

$⟨f,g⟩:=\underset{D}{\int }f(z)\overline{g(z)}dV(z).$

O zaman $A^2(D)$ bir doğuran çekirdekli Hilbert uzayıdır ve çekirdeği de Bergman çekirdeği tarafından belirlenir. Gerçekten de,

• Uzay, tanımı gereği yine bir Hilbert uzayı olan $L^2(D)$nin doğrusal bir altuzayıdır.
• Aynı zamanda, Bergman uzayı, $L^2(D)$ içinde kapalıdır. Bu yüzden, kendi başına da tam bir metrik uzaydır. Bu uzayın kapalı olmasının sebebi $D$nin her tıkız alt kümesi için $\underset{z\in K}{\sup }|f(z)|\le C_K\Vert f{\Vert }_{L^2(D)}$ eşitsizliğinin sağlanmasıdır. Bu halde, bir holomorf fonksiyon dizisinin $L^2(D)$ içindeki yakınsaklığı tıkız kümeler üzerindeki düzgün yakınsaklığa (yani tıkız yakınsaklığa) dönüşür. Böylelikle, bu dizinin limiti de holomorf olur. $L^2(D)$ zaten tam olduğu için, limitin kare integrallenebilir olduğu bilinmektedir. O yüzden, limit fonksiyonu da $A^2(D)$ içindedir.

Bergman çekirdeği

Daha önceden bahsedilen $\underset{z\in K}{\sup }|f(z)|\le C_K\Vert f{\Vert }_{L^2(D)}$ eşitsizliğinin $D$nin her tıkız altkümesinde sağlanması, aynı zamanda $D$ içindeki her $z$ noktası için, $e{v}_z:f\mapsto f(z)$ gönderiminin bir sürekli doğrusal operatör olduğunu da gösterir. Bir başka deyişle, $D$ içindeki her $z$ noktası için, $A^2(D)$ uzayında bulunan fonksiyonların $z$ noktasında değerlendirilmesi sürekli doğrusal operatör olur. O zaman, Riesz temsil teoremi kullanılarak bu doğrusal operatör $A^2(D)$'deki bir elemanla iç çarpım halinde yazılabilir:

${\mathrm{ev}}_{z}f=\underset{D}{\int }f(\zeta )\overline{{\eta }_z(\zeta )}d\mu (\zeta ).$

Bergman çekirdeği $K$,

$K(z,\zeta )=\overline{{\eta }_z(\zeta )}$

olarak tanımlanır. Bergman çekirdeği, $z$ değişkeninde holomorf ve $\zeta$ değişkeninde ise tersholomorftur. Aynı zamanda aşağıdaki çekirdek özelliğini sağlar:

$f(z)=\underset{D}{\int }K(z,\zeta )f(\zeta )d\mu (\zeta ).$

Başka bir deyişle, $D$ içindeki her $z$ noktası için, $A^2(D)$ içindeki her holomorf fonksiyonun bu çekirdekle çarpılıp integralinin alınması fonksiyonun $z$ noktasında değerlendirmesini geri verir. $z$ noktası herhangi bir nokta olabileceği için, fonksiyon çekirdek tarafından yeniden üretilmiş olur; yani, çekirdek üreteç görevi görmektedir.

Özel bölgelerde Bergman çekirdeği

Bergman çekirdeği, karmaşık düzlemdeki ve karmaşık koordinat uzayındaki bazı özel bölgelerde açık bir şekilde bilinmektedir.

• Birim disk: $D=𝔻(0,1)=\{z\in ℂ:|z|<1\}$ ise, o zaman

$$K(z,\zeta )=\frac{1}{\pi }\frac{1}{(1-z\overline{\zeta }{)}^2},(\zeta \in 𝔻).$$

• (Gerçel kısmı pozitif olan) Yarı düzlem: $D={ℂ}_{+}=\{z\in ℂ:|Rez>0\}$ ise, o zaman

$K(z,\zeta )=\frac{1}{(\bar{z}+\zeta {)}^2}(\zeta \in {ℂ}_{+}).$

• Yuvar: $B=\{z\in {ℂ}^n||z|<R\}$ sıfır merkezli ve $R$ yarıçaplı yuvar olsun. O zaman,

$K_B(z,\zeta )=\frac{n!R^n}{{\pi }^n}{(R^2-\sum _{j=1}^n{z}_j{\overline{\zeta }}_j)}^{-n-1}.$

$n=1$ ve $R=1$ iken yukarıda verilen ifâde buradan tekrar elde edilebilir.

• Disk çarpımı: $U=\{z\in {ℂ}^n||z_j|<r_j,j=1,2,\cdots ,n\}$ sıfır merkezli ve $r=(r_1,\cdots ,r_n)$ vektör yarıçaplı disk çarpımı (polidisk) olsun. O zaman,

$K_U(z,\zeta )=\frac{1}{{\pi }^n}\prod _{j=1}^n\frac{r_j^2}{{(r_j^2-z_j{\overline{\zeta }}_j)}^2}.$

Ayrıca bakınız

• Bergman metriği
• Szegő çekirdeği