Bileşke fonksiyon

Şablon:Kaynaksız Şablon:Sidebar Bileşke fonksiyon, matematikte bir işlevdir.

$f$, $X$ kümesinden $Y$ kümesine giden bir fonksiyonsa, $g$ de $Y$ kümesinden $Z$ kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman $g\circ f$ fonksiyonunu her $x\in X$ için,

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

kuralıyla tanımlanan $X$ kümesinden $Z$ kümesine giden fonksiyon olarak tanımlanır. Bu fonksiyona $g$ ve $f$ fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.

Başka bir deyişle, bileşke

$f:X⟶Y$ ve $g:Y⟶Z$

fonksiyonlarından

$g\circ f:X⟶Z$

fonksiyonunu üretir.

$g$ ve $f$ fonksiyonlarının (bu sırayla) bileşkesini alabilmek için $f$ fonksiyonunun değer kümesi, $g$ fonksiyonunun tanım kümesine eşit olmalıdır.

Eğer $f$, $X$ kümesinden $Y$ kümesine, $g$ de $Y$ kümesinden $X$ kümesine giden bir fonksiyonsa, o zaman hem $g\circ f:X⟶X$ fonksiyonundan hem de $f\circ g:Y⟶Y$ fonksiyonundan söz edilebilir.

Bileşke, $X$'ten $X$'e giden fonksiyonlar kümesi olan Fonk$(X,X)$ kümesi üzerine bir ikili işlemdir. Özdeşlik fonksiyonu Id${}_X$, bu ikili işlemin sağdan ve soldan etkisiz elemanıdır. Ayrıca, Fonk$(X,X)$ kümesinin bileşke işlemi için tersinir elemanları eşlemeler, yani bijeksiyonlardır.

Özellikleri

$X=Y=Z=R$ (gerçek sayılar kümesi) olsun. $f$ fonksiyonu $f(x)=x^2$ ve $g$ fonksiyonu $g(x)=x+1$ olarak tanımlansın. O zaman,

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1)=(x+1{)}^2$

dir. Ancak

$(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2)=x^2+1$

dir. Demek ki

$f\circ g\ne g\circ f$,

yani bileşkenin değişme özelliği yoktur. Öte yandan bileşkenin birleşme özelliği vardır.

$X,Y,Z,T$ dört küme olsun.

$f:X⟶Y$,

$g:Y⟶Z$,

$h:Z⟶T$

üç fonksiyon olsun. O zaman şu fonksiyonlardan söz edilebilir:

$g\circ f:X⟶Z$,

$h\circ (g\circ f):X⟶T$,

$h\circ g:Y⟶T$,

$(h\circ g)\circ f:X⟶T$.

Bu fonksiyonlardan ikincisi ve dördüncüsü birbirine eşittir, yani

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$

eşitliği geçerlidir. $X$ kümesinden herhangi bir $x$ elemanı alınır ve her iki fonksiyon da bu $x$ elemanında değerlendirilirse

$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$

ve

$(h\circ (g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).$

eşitliklerine ulaşılır.

Her iki eşitliğin sağ tarafları eşit olduğundan sol tarafları da eşittir, yani

$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)$.

Bundan da fonksiyonların eşit olduğu, yani $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$ eşitliği çıkar.