Binom dönüşümü

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir.

Tanım

Bir $\{a_n\}$ dizisinin binom dönüşümü (T)

$s_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k$

olarak tanımlanan $\{s_n\}$ dizisidir.

$(Ta{)}_n=s_n$ yazımında T bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir:

$s_n=(Ta{)}_n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_{nk}{a}_k$

Bu dönüşüm bir kıvrılmadır.

$TT=1$

Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir.

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_{nk}{T}_{km}={\delta }_{nm}$

Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir.

$a_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})s_k$

işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir.

Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin n. ileri farkıdır.

$s_0=a_0$

$s_1=-(\mathrm{△}a{)}_0=-a_1+a_0$

$s_2=({\mathrm{△}}^{2}a{)}_0=-(-a_2+a_1)+(-a_1+a_0)=a_2-2a_1+a_0$

$\dots$

$s_n=(-1{)}^n({\mathrm{△}}^{n}a{)}_0$

Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir.

Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm

$t_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a_k$

biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi

$a_n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})t_k$

olarak yazılır.

Örnek

Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir.

0		1		10		63		324		1485
	1		9		53		261		1161
		8		44		208		900
			36		164		692
				128		528
					400

0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ($(2n^2+n)3^{n-2}$ tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin ($n^2{2}^{n-1}$ tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür.

Değişim durumları

Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle,

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k$

eşitliği sağlanmaktadır. Burada $B_n$ Bell sayılarını göstermektedir.

Olağan üretici işlev

Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

ve

$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_n{x}^n$

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

$g(x)=(Tf)(x)=\frac{1}{1-x}f\left(\frac{x}{x-1}\right)$

ifadesine ulaşılabilir.

Euler dönüşümü

Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman Euler dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{{\mathrm{\Delta }}^n{a}_0}{2^{n+1}}$

ifadesinde x yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.

Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir:

p = 0, 1, 2, … için

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+p}{n})a_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+p}{n})\frac{{\mathrm{\Delta }}^n{a}_0}{2^{n+p+1}}$

eşitliği sağlanır.

Euler dönüşümü ${}_2{F}_1$ hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü

${}_2{F}_1(a,b;c;z)=(1-z{)}^{-b}{}_2{F}_1(c-a,b;c;\frac{z}{z-1})$

olarak ifade edilebilmektedir.

Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. $0<x<1$ sayısının sürekli kesir ifadesinin

$x=[0;a_1,a_2,a_3,\cdots ]$

olduğu varsayılsın. Buradan

$\frac{x}{1-x}=[0;a_1-1,a_2,a_3,\cdots ]$

ve

$\frac{x}{1+x}=[0;a_1+1,a_2,a_3,\cdots ]$

sonuçlarına ulaşılabilmektedir.

Üstel üretici işlev

Üstel üretici işlev için

$\bar{f}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{x^n}{n!}$

ve

$\bar{g}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{s}_n\frac{x^n}{n!}$

eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan

$\bar{g}(x)=(T\bar{f})(x)=e^x\bar{f}(-x)$

eşitliğine ulaşılır.

Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir.

İntegral biçimindeki ifadesi

Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir.

Genellemeler

Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir.

$u_n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k(-c{)}^{n-k}{b}_k$

eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında

$U(x)=\frac{1}{cx+1}B\left(\frac{ax}{cx+1}\right)$

ifadesine ulaşılır. Burada U ve B sırasıyla $\{u_n\}$ ve $\{b_n\}$ dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir.

Artan k-binom dönüşümü zaman zaman

$\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})j^k{a}_j$

biçiminde, azalan k-binom dönüşümü

$\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})j^{n-k}{a}_j$

biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir.

Binom dönüşümü

$\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a_i=b_n$

olarak tanımlanır, bu ifade

$𝔍(a{)}_n=b_n$

işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından $\{b_n\}$ gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü

${𝔍}^2(a{)}_n=\sum _{i=0}^n(-2{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a_i$

ifadesine eşit olur.

Aynı işlem k kez yinelendiğinde

${𝔍}^k(a{)}_n=b_n=\sum _{i=0}^n(-k{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a_i$

eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi

${𝔍}^{-k}(b{)}_n=a_n=\sum _{i=0}^n{k}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})b_i$

olarak yazılır.

Bu ifadenin genel biçimi

${𝔍}^k(a{)}_n=b_n=(𝐄-k{)}^n{a}_0$

olarak yazılabilir. Burada $𝐄$ değişim işlecini göstermektedir.

Bu ifadenin tersi

${𝔍}^{-k}(b{)}_n=a_n=(𝐄+k{)}^n{b}_0$

biçiminde gösterilir.

Ayrıca bakınız

• Newton dizisi
• Hankel matrisi
• Möbius dönüşümü
• Stirling dönüşümü
• Euler toplamı

Kaynakça

• John H. Conway & Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers
• Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming Cilt 3, (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
• Helmut Prodinger, 1992, Some information about the Binomial transformŞablon:Webarşiv
• Michael Z. Spivey & Laura L. Steil, 2006, The k-Binomial Transforms and the Hankel TransformŞablon:Webarşiv
• Borisov B. & Shkodrov V., 2007, Divergent Series in the Generalized Binomial Transform, Adv. Stud. Cont. Math., 14 (1): 77-82

Dış bağlantılar

• Binom DönüşümüŞablon:Webarşiv