Borel-Karatodori teoremi

Şablon:Öksüz Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Borel-Karatodori teoremi holomorf bir fonksiyonun gerçel kısmıyla sınırlı olabileceğini gösteren bir sonuçtur. Teorem, Émile Borel'in ve Konstantin Karatodori'nin adını taşımaktadır.

Teoremin ifâdesi

$0\le r<R$ olmak üzere, orijin merkezli ve $R$ yarıçaplı kapalı bir disk üzerinde holomorf olan bir $f$ fonksiyonu için aşağıdaki eşitsizlik sağlanır:

$\Vert f{\Vert }_r\le \frac{2r}{R-r}\underset{|z|\le R}{\sup }\mathrm{Re}f(z)+\frac{R+r}{R-r}|f(0)|.$

Burada, sol taraftaki norm, fonksiyonun kapalı disk üzerindeki maksimumu demektir. Maksimum modülüs teoremi ile bu maksimum değerinin kapalı diskin topolojik sınırında (yani çemberde) aldığı bilinmektedir. Diğer deyişle,

$\Vert f{\Vert }_r=\underset{|z|\le r}{\max }|f(z)|=\underset{|z|=r}{\max }|f(z)|.$

Kanıt

Fonksiyon bir $c$ sabitine eşitse, o zaman $(R+r)|c|+2r\mathrm{Re}c\ge (R-r)|c|$ olacağı için teoremdeki eşitsizlik hemen gösterilmiş olur. Bu yüzden, fonksiyonun sabit olmadığını varsayabiliriz.

İlk önce, diyelim ki, $f(0)=0$ olsun. $f$'nin gerçel kısmı harmonik olacağı için, harmonik fonksiyonların ortalama değer teoremi gereği

$\mathrm{Re}f(0)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{Re}f(R{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}s})\mathrm{d}s$

olur. $f$ holomorf olduğu ve sabit olmadığı için, $f$'nin gerçel kısmı da sabit değildir. Bu yüzden, $f(0)=0$ ise $Ref(0)=0$ olur. Sonuç olarak, $|z|=R$ üzerindeki bazı noktalarda Re $f(z)>0$ olacaktır. Bu yüzden, $A:=\underset{|z|\le R}{\sup }\mathrm{Re}f(z)>0$ olur. Bu da yarı-düzlemin $f$ fonksiyonu altındaki görüntüsünün 'x=A doğrusunun solunda kalan yarı-düzlemin içinde olduğu anlamına gelir. O zaman, $w\mapsto w/A-1$ gönderimi Pyi sol yarı düzleme gönderir. Sol yarı düzlem ise $w\mapsto R(w+1)/(w-1)$ gönderimi orijin merkezli ve $R$ yarıçaplı diske gönderilir. Bunların bileşkesi $w\mapsto \frac{Rw}{w-2A}$ hâlini alır ve 0 noktası 0a gönderilir. Bu fonksiyonun $f$ ile bileşkesini alıp Schwarz önsavı'nı uygularsak,

$\frac{|Rf(z)|}{|f(z)-2A|}\le |z|$

elde ederiz. |z| ≤ r alırsak,

$R|f(z)|\le r|f(z)-2A|\le r|f(z)|+2Ar$

haline gelir ve böylece

$|f(z)|\le \frac{2Ar}{R-r}$

elde edilir. Genel durumda ise (yani, $f(0)=0$ olmazsa), f(z)-f(0) fonksiyonuna bakabiliriz.

$\begin{array}{cc}|f(z)|-|f(0)|& \le |f(z)-f(0)|\le \frac{2r}{R-r}\underset{|w|\le R}{\sup }\mathrm{Re}(f(w)-f(0))\\ & \le \frac{2r}{R-r}(\underset{|w|\le R}{\sup }\mathrm{Re}f(w)+|f(0)|),\end{array}$

olur. Yeniden düzenlersek, sonuç elde edilir.