Borel toplamı

Borel toplamı dizilerin toplamına ilişkin bir genellemedir. Bu terim, herhangi bir toplam değeri olmayan diziler için bile bir büyüklük değeri tanımlayabilmektedir.

Tanım

$y=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{y}_k{z}^{-k}$

z'de bir resmi üs dizisi olsun ve $y$'nin Borel dönüşümü $ℬy$ aşağıdaki biçimde tanımlansın.

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{y_{k+1}}{k!}{t}^k$

1. $ℬy$'nin sıfırdan farklı bir yakınsaklık yarıçapı olduğu,
2. $ℬy$'nin $\hat{y}(t)$ gibi bir işleve tüm pozitif gerçel sayılar için sürdürülebildiği,
3. $\hat{y}(t)$'nin gerçel sayılar kümesinde en çok üssel hızla büyüdüğü

varsayılsın.

Bu durumda y'nin Borel toplamı, $\hat{y}(t)$'nin Laplace dönüşümüne eşit olur. Bu işlevin var oluşu 3. koşul tarafından güvence altına alınmaktadır.

Geçmiş

Nicholas M. Katz, Émile Borel'in gençliğinden bir anı anlatıyor: Şablon:Quote

Uygulamalar

Borel toplamı, fizikçilerin bir dizinin toplamını bulmaya çalıştıkları düzensizlik kuramı çalışmalarında sıkça kullanılmaktadır.

Borel toplamının dizilerden (süreksiz) integrallere (sürekli) dönüşümü şu yolla yapılmaktadır:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{s}^{-x}f(x)dx\to s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)t^x}{\mathrm{\Gamma }(x+1)}\exp (-st)dtdx=\frac{F(\ln (s))}{\ln (s)}$

Burada F(s), f(x)'in Laplace dönüşümünü belirtmektedir. Bu ifade

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)e^{i\omega x}dx$

türündeki Fourier integrallerine sonlu bir anlam kazandırmaktadır.