Bottema teoremi

Bottema'nın teoremi şu şekildedir: $ABC$, $C$ noktasının değişken olduğu bir üçgen olsun. Kareler $AC$ ve $BC$'ye dışa doğru iliştirilirse, bu karelerin $C$'nin zıt noktalarının segmentinin orta noktası $M$, sabit bir nokta olacaktır. Özellikle bu, $AB$'ye içe doğru iliştirilmiş karenin orta noktasıdır.

Bottema teoremi, Hollandalı matematikçi Oene Bottema (Groningen, 1901–1992) tarafından matematik literatürüne kazandırılmış olan düzlem geometride bir teoremdir.

Teoremin Açıklaması

Teorem şu şekilde ifade edilebilir; verilen herhangi bir $ABC$ üçgeninde, herhangi iki bitişik kenarda, $AC$ ve $BC$, kareler oluşturulsun. Üçgenin iki kenarının ortak tepe noktası olan $C$'nin karşısındaki karelerin köşelerini birbirine bağlayan doğru parçasının orta noktası, $C$'nin konumundan bağımsızdır.

Teorem, kareler aşağıdaki yollardan biriyle oluşturulduğunda doğrudur:

• Şekle bakarak, sol alt köşe $A$'dan başlayarak, üçgen köşelerini saat yönünde takip edin ve üçgenin kenarlarının solundaki kareleri oluşturun.
• Üçgeni aynı şekilde takip edin ve üçgenin kenarlarının sağındaki kareleri oluşturun.

Teoremin İspatı

Teoremin üçgende benzerlikler kullanılarak ispatı.

Benzerlikleri kullanarak ispat

• $\frac{AH}{AG}=\frac{BI}{BD}=\alpha$ olsun.
• $AB$ doğru parçası üzerine $HL$, $CX$, $JK$ ve $IM$ diklerini indirelim.
• $JK$, $HLMI$ yamuğunun orta tabanıdır, bu nedenle;

$JK=\frac{(HL+IM)}{2}$'dir.

• Ayrıca, $\mathrm{\angle }HAC$ dik olduğundan $\mathrm{\angle }HAL$ ve $\mathrm{\angle }CAX$ tümler açılardır ve bu da $\mathrm{△}HAL$ ve $\mathrm{△}ACX$ dik üçgenlerini benzer yapar.
• Benzerlikten faydalanarak;

$HL=\alpha AX$ ve $IM=\alpha BX$ yazılabilir.

• Bu üç özdeşliği de dikkate alarak aşağıdaki eşitlik elde edilebilir:

$JK=\frac{(HL+IM)}{2}=\frac{\alpha }{2}(AX+BX)=\frac{\alpha }{2}AB=\alpha AK$

Buradan da $C$'den bağımsız olduğu görülür.

• $\mathrm{△}HAL\sim ACX$ ve $\mathrm{△}IBM\sim \mathrm{△}BCX$ olduğundan;

$AL=CX=BM$ yazılabilir.

• Orta taban (midline) teoremine göre $LK=KM$'dir.
• Bu nedenle, $AK=(LK-AL)=(KM-BM)=KB$'dir.

Bu, $J$'nin sabit olduğunu, çünkü $AB$ doğru parçasının orta noktasının "üstünde" sabit bir mesafede olduğunu gösterir.

Vektörler yoluyla ispat

• Orijinal şekli kullanalım ve $O$, $AB$'nin orta noktası olsun.
• $\overrightarrow{OB}=a\hat{i}$ olsun. Buna göre $\overrightarrow{OA}=-a\hat{i}$ olur.
• $\overrightarrow{OC}=b\hat{i}+c\hat{j}$ olsun.
• Bu nedenle; $\overrightarrow{AC}=(a+b)\hat{i}+c\hat{j}$ ve $\overrightarrow{BC}=(-a+b)\hat{i}+c\hat{j}$'dir.
• Buradan kolayca, $\overrightarrow{AE}=-c\hat{i}+(a+b)\hat{j}$ ve $\overrightarrow{BD}=c\hat{i}+(a-b)\hat{j}$ olduğunu gösterebiliriz.
• $\frac{AF}{AE}=\frac{BG}{BD}=k$ olsun.
• $\overrightarrow{AF}=-kc\hat{i}+k(a+b)\hat{j}$ ve $\overrightarrow{BG}=kc\hat{i}+k(a-b)\hat{j}$ eşitliklerine sahibiz.
• Sonuç olarak:

$\overrightarrow{OH}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OG})$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BG})$

$=\frac{1}{2}(-a\hat{i}-kc\hat{i}+k(a+b)\hat{j}+a\hat{i}+kc\hat{i}+k(a-b)\hat{j})$

$=\frac{k}{2}((a+b)+(a-b))\hat{j}$

$=ka\hat{j}$ bulunur.

• Bu da $OH\perp AB$ ve $OH$ uzunluğunun sadece $a$ ve $k$'ye, yani $AB$'nin uzunluğuna ve $k$ oranına bağlı olduğunu, dolayısıyla $H$'nin yerinin gerçekten sabit olduğunu gösterir.

Konuyla ilgili yayınlar

• Sashalmi, É., & Hoffmann, M. (2004). Generalizations of Bottema’s theorem on pedal points. Acta Acad. Paed. Agriensis, Sectio Mathematicae, 31, Makale, ss. 25-31.
• Zvonko Cerin. (2009). Rings of Squares Around Orthologic Triangles. Makale Şablon:Webarşiv, s. 1
• Nguyen Ngoc Giang. (2018). A New Proof and Some Generalizations of the Bottema Theorem. International Journal of Computer Discovered Mathematics (IJCDM), Şablon:ISSN, Volume 3, 2018, Makale Şablon:Webarşiv, ss. 49-54

Dış bağlantılar

• Bottema Teoremi: Nedir? Şablon:Webarşiv
• Wolfram Gösterimleri Projesi - Bottema Teoremi Şablon:Webarşiv
• Geogebra - Bottema Teoremi Şablon:Webarşiv
• Dynamic mathematics learning (Java Applet) Şablon:Webarşiv
• GoGeometry - Bottema Teoremi Şablon:Webarşiv

Ayrıca bakınız

• Van Aubel teoremi
• Napoleon teoremi