Carleman eşitsizliği

Matematikte Carleman eşitsizliği Denjoy-Carleman teoreminin analitiğimsi fonksiyonlar sınıfı üzerinde kanıtlanmasında kullanılan bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, sonucu 1923'te kanıtlamış olan Torsten Carleman'ın adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Negatif olmayan bir gerçel sayılar dizisi $a_1,a_2,a_3,\dots$ için

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(a_1{a}_2\cdots a_n)}^{1/n}\le \mathrm{e}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

eşitsizliği sağlanır.

Eşitslikteki Euler sayısı ($\mathrm{e}$) en iyi sabittir; yani, eşitsizlikte $\mathrm{e}$ yerine bu sayıdan daha küçük olan başka bir gerçel sayı alınarak eşitsizlik yine aynı genellikte elde edilemez. Eğer $a_1,a_2,a_3,\dots$ dizisindeki elemenlardan bazıları sıfırdan farklı ise kesin eşitsizlik vardır; yani, bu gibi diziler için, eşitsizlik "≤" yerine "<" ile yazılabilir.

İntegral biçimi

Eşitsiliğin integral biçimi şu şekilde ifade edilebilir: Her f ≥ 0 için

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{\{\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\ln f(t)\mathrm{d}t\}}\mathrm{d}x\le \mathrm{e}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$

eşitsizliği yazılabilir.

Carleson eşitsizliği

Eşitsizliğin bir genelleştirmesi Lennart Carleson tarafından şu şekilde verilmiştir:
g(0) = 0 özelliğini sağlayan dışbükey her g fonksiyonu ve her -1 < p < ∞ için

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^p{\mathrm{e}}^{-g(x)/x}\mathrm{d}x\le {\mathrm{e}}^{p+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^p{\mathrm{e}}^{-g^{\prime }(x)}\mathrm{d}x$

eşitsizliği vardır. p = 0 alınarak Carleman eşitsizliği elde edilir.

Dış bağlantılar

• Şablon:Springer