Carnot teoremi (dikmeler)

Adını Fransız matematikçi Lazare Carnot'dan alan Carnot teoremi, üçgenin (uzatılmış) kenarlarına dik olan üç doğrunun ortak bir kesişme noktası için gerek ve yeter koşulu tanımlar. Teorem ayrıca Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak düşünülebilir.

Teoremin açıklaması

Kenarları $a, b, c$ olan bir $△ A B C$ üçgeni için, üçgenin kenarlarına dik olan ve ortak bir $F$ noktasında kesişen üç doğru düşünün. Eğer $P_{a}, P_{b}, P_{c}$ $a, b, c$ kenarları üzerindeki bu üç dikmenin ayak noktaları ise, ardından aşağıdaki denklem geçerli olur:

| A P_{c} |^{2} + | B P_{a} |^{2} + | C P_{b} |^{2} = | B P_{c} |^{2} + | C P_{a} |^{2} + | A P_{b} |^{2}

Yukarıdaki ifadenin tersi de doğrudur, yani bir üçgenin üç kenarındaki üç dikmenin ayak noktaları için denklem geçerliyse, o zaman bu dikmeler ortak bir noktada kesişirler. Bu nedenle denklem, gerekli ve yeterli bir koşulu sağlar.

Özel durumlar

Eğer $△ A B C$ üçgeni $C$ noktasında bir dik açıya sahipse ve kesişme noktası $F$ , $A$ veya $B$ üzerinde bulunuyorsa, yukarıdaki denklem Pisagor teoremini verir. Örneğin eğer $F$ noktası, $A$ ile çakışırsa bu, $| A P_{b} | = 0$ , $| A P_{c} | = 0$ , $| C P_{a} | = 0$ , $| C P_{b} | = b$ , $| B P_{a} | = a$ ve $| B P_{c} | = c$ olduğu sonucunu doğurur. Bu nedenle, yukarıdaki denklem $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ haline yani Pisagor teoremine dönüşür.

Diğer bir sonuç, bir üçgenin dik açıortaylarının ortak bir noktada kesişme özelliğidir. Dikey açı ortaylar söz konusu olduğunda $| A P_{c} | = | B P_{c} |$ , $| B P_{a} | = | C P_{a} |$ ve $| C P_{b} | = | A P_{b} |$ olur ve bu nedenle yukarıdaki denklem geçerlidir. Bu, üç dikey açıortayın da aynı noktada kesiştiği anlamına gelir.

İspat

Şekilden görülebileceği gibi dik açıortayların ayakları $A_{a}, B_{b}, C_{c}$ olarak gösterilsin.

Carnot Teoremi, aşağıdaki ifade doğrulandığında istenen tutarlılığı garanti eder.

(| A C_{c} |^{2} - | B C_{c} |^{2}) + (| B A_{a} |^{2} - | C A_{a} |^{2}) + (| C B_{b} |^{2} - | A B_{b} |^{2}) \overset{?}{=} 0 (⋆)

Öncelikle $(⋆)$ ifadesinin ilk kısmını ele alalım:

| A C_{c} |^{2} - | B C_{c} |^{2} = (| A C_{c} | + | B C_{c} |) (| A C_{c} | - | B C_{c} |) = | A B | (| A C_{c} | - | B C_{c} |)

| A C_{c} | = \frac{1}{2} (| A A_{c} | + | A B_{c} |) = \frac{1}{2} (| A A_{c} | + | A B | - | B B_{c} |)

| B C_{c} | = \frac{1}{2} (| B B_{c} | + | A B | - | A A_{c} |)

olduğundan, yukarıdaki ifade,

| A C_{c} |^{2} - | B C_{c} |^{2} = | A B | (| A A_{c} | - | B B_{c} |)

şeklinde yazılabilir. Aynı şekilde,

| B A_{a} |^{2} - | C A_{a} |^{2} = | B C | (| B B_{a} | - | C C_{a} |)

| C B_{b} |^{2} - | A B_{b} |^{2} = | C A | (| C C_{b} | - | A A_{b} |)

Bu nedenle, $(⋆)$ aşağıdaki ifadeye dönüşür:

| A B | | A A_{c} | + | B C | | B B_{a} | + | C A | | C C_{b} | \overset{?}{=} | B A | | B B_{c} | + | C B | | C C_{a} | + | A C | | A A_{b} | (⋆ ⋆)

sağ tarafta " $| A B |$ " yerine " $| B A |$ " yazılması, vb. gibi değişiklerle ve aşağıdaki ifadeden faydalanırsak:

Şablon:Alıntı

$(⋆ ⋆)$ ifadesinde, $| A B | | A A_{c} |$ teriminin değeri $K_{A}$ 'ya göre $A$ noktasının kuvvetidir; ama $| A C | | A A_{b} |$ değeri de öyledir. Bu nedenle her iki terim iptal edilir. Benzer şekilde, $| B C | | B B_{a} | = | B A | | B B_{c} |$ ( $B$ 'nin $K_{B}$ 'ye göre kuvveti) ve $| C A | | C C_{b} | = | C B | | C C_{a} |$ ( $C$ 'nin $K_{C}$ 'ye göre kuvveti). Tüm terimler birbirini götürür, böylece Carnot Teoremine ulaşılır: şekildeki doğrular tek noktada kesişir.

Kaynakça

Dış bağlantılar

Carnot's theorem @ Interactive Geometry
Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot Şablon:Webarşiv @ Matheplanet.com (Almanca)
Carnot's Theorem Şablon:Webarşiv @ cut-the-knot.org
Carnot's Theorem Şablon:Webarşiv @ artofproblemsolving

Konuyla ilgili yayınlar

Prof. Ion Pătrașcu, The Dual of the Orthopole Theorem, Makale Şablon:Webarşiv
Oğuzhan Demirel & Emine Soytürk, (2008), The Hyperbolic Carnot Theorem in the Poincare Disc Model of Hyperbolic Geometry, Novi Sad J. Math., Vol. 38, No. 2, ss. 33-39, Makale Şablon:Webarşiv

Carnot teoremi (dikmeler)

İçindekiler

Teoremin açıklaması

Özel durumlar

İspat

Kaynakça

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar

Gezinti menüsü

Carnot teoremi (dikmeler)

Teoremin açıklaması

Özel durumlar

İspat

Kaynakça

Dış bağlantılar

Konuyla ilgili yayınlar

Gezinti menüsü

Ara