Cousin problemleri

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Cousin problemleri (Tr. okunuşu Kuzen problemleri), meromorf fonksiyonların yerel bilgilerinden (yani sıfırlarından ve kutuplarından) faydalanarak bu kutuplardan oluşan kümeler hariç her yerde meromorf olan fonksiyon oluşturma problemlerine verilen addır. Problemin toplamsal ve çarpımsal olarak iki türü mevcuttur. Bu problemler, Birinci Cousin Problemi ya da Cousin I problemi ve İkinci Cousin Problemi ya da Cousin II problemi olarak adlandırılırlar. Bu adlarla ilk defa Henri Cartan'ın 1934'teki makalesinde anılmışlardır ve problemleri özel hâllerde 1895 yılında tanımlayan Fransız matematikçi Pierre Cousin'in adını taşımaktadırlar.

Çok değişkenli karmaşık analizdeki bu problemler karmaşık analizdeki Weierstrass çarpım teoremi ve Mittag-Leffler teoreminin çözdüğü problemlerin yüksek boyutlara uyarlaması olarak görülebilirler. Her iki problemde bir karmaşık manifold $M$, bu manifoldun açık örtüsü $U_i$ ve $U_i$ler üzerinde meromorf olan $f_i$ fonksiyonları verilir.

Birinci Cousin Problemi

Birinci problemde, $f_i-f_j$ fonksiyonlarının tanımlı oldukları bölgelerde, yâni $U_i\cap U_j$ kümesinde, holomorf olduğu bilgisi verilir. Problem, o zaman, $M$ üzerinde meromorf olan ve $f-f_i$ fonksiyonlarının holomorf olduğu bir $f$ fonksiyonunun var olup olmadığını sorar. Problemde $f_i-f_j$ üzerinde şartlar aslında gereklidir ve problem bu tür bir şartın yeterli olup olmadığını sormaktadır.

Çözümü üzerine

Probleme tek boyut özelinde bakıldığında, yani, $M$ karmaşık düzlemde açık bir küme olduğunda, problemin çözümü Mittag-Leffler teoremi tarafından verilmektedir. Problemin ilk tam çözümü Kiyoshi Oka tarafından verilmiştir.

Riemann yüzeyi özelinde bakıldığında ise $M$ üzerinde ilâve varsayımlar getirmek gerekebilir. Problemin çözümü en genel haliyle Stein manifoldları için verilmiştir. Bu çözümü veren Cartan B teoremidir.

Düzgün fonksiyonlar için hâli

Problemin holomorf değil de düzgün fonksiyonlar için değiştirilmiş halinin her zaman çözülebilir olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Gerçekten, $M$ üzerindeki $\{U_i\}$ örtüsüyle uyumlu birimin ayrışımı $\{{\phi }_i\}$ tarafından verilsin. Her $i$ için, $U_i$ üzerinde $g_i(z):=\sum _k{\phi }_k(z)(f_k(z)-f_i(z))$ tanımlanırsa, o zaman $U_i\cap U_j$ kümesinde

$\begin{array}{cc}{g}_j(z)-g_i(z)& =\sum _k{\phi }_k(z)(f_k(z)-f_j(z)-f_k(z)+f_i(z))\\ & =\sum _k{\phi }_k(z)(f_i(z)-f_j(z))\\ & =f_i(z)-f_j(z)\\ \end{array}$

olur.

Holomorfluk bölgelerinde çözüm

Holomorfluk bölgelerinin üzerinde birinci Cousin probleminin çözümü her zaman vardır. Gerçekten de, $M$ üzerindeki $\{U_i\}$ örtüsüyle uyumlu birimin ayrışımı $\{{\phi }_i\}$ tarafından verilsin. Her $i$ için, $U_i$ üzerinde yine $g_i(z):=\sum _k{\phi }_k(z)(f_k(z)-f_i(z))$ tanımlansın. Elbette, bu şekilde tanımlanmış bir fonksiyon holomorf olmayacaktır. Ancak, $U_i\cap U_j$ kümesinde

$\begin{array}{cc}\overline{\partial }(g_j(z)-g_i(z))& =\overline{\partial }(\sum _k{\phi }_k(z)(f_k(z)-f_j(z)-f_k(z)+f_i(z)))\\ & =\overline{\partial }(\sum _k{\phi }_k(z)(f_i(z)-f_j(z)))\\ & =\overline{\partial }(f_i(z)-f_j(z))\\ & =0\end{array}$

olur. Yani, her $U_j$ için, $f\equiv \overline{\partial }{g}_j$ problemi iyi tanımlıdır. Ayrıca, $f$ sonsuz türevlidir ve $\overline{\partial }f=0$ gözlenir. Holomorfluk bölgelerinde, $\overline{\partial }$-problemi çözülebileceği için, $M$ üzerinde $\overline{\partial }u=f$ özelliğini sağlayan sonsuz türevli bir $u$ vardır. $u$ fonksiyonlarını daha önceden tanılanmış $g_j$ fonksiyonları üzeride düzeltme olarak kullanıp, holomorf fonksiyonlar yaratabiliriz. Gerçekten de, eğer $U_j$ üzerinde $h_j(z):=g_j(z)-u$ tanımlarsak, o zaman, $U_i\cap U_j$ kümesinde $h_j-h_i=g_j-g_i=f_j-f_i$ olur. Aynı zamanda, her $i$ için,

$\overline{\partial }{h}_i=\overline{\partial }{g}_i-\overline{\partial }u=f-\overline{\partial }u=0$

olur. Yani, her $h_i$ holomomorftur.

Demet kohomolojisi

Birinci Cousin problemine demet kohomolojisi açısından da bakmak mümkündür. $M$ üzerindeki meromorf fonksiyonların demeti $K$ olsun. $O$ ise $M$ üzerindeki holomorf fonksiyonların demeti olsun. Bir $f$ global kesiti $K$den bölüm demeti $K/O$'nun global kesiti $\varphi (f)$e gider. Bunun tersi yöndeki soru birinci Cousin problemidir. Diğer deyişle, $K/O$'nun global bir kesiti verilse, bunun görüntüsü $K$de global bir kesit midir? O zaman, problem

$H^0(M,𝐊)\stackrel{\varphi }{\to }{H}^0(M,𝐊/𝐎)$

gönderiminin görüntüsünü tanımlayabilmektir. Tam kohomoloji dizisinden

$H^0(M,𝐊)\stackrel{\varphi }{\to }{H}^0(M,𝐊/𝐎)\to H^1(M,𝐎)$

olur ve birinci Cousin problemi, birinci kohomoloji grubu $H^1(M,𝐎)$ sıfırlaşırsa, bir çözüme kavuşur. Özellikle, Cartan B teoremi sayesinde, Stein manifoldları üzerinde çözüm elde edilmiş olur.

İkinci Cousin Problemi

İkinci problemde, $\frac{f_i}{f_j}$ fonksiyonlarının tanımlı oldukları bölgelerde, yâni $U_i\cap U_j$ kümesinde, holomorf olduğu bilgisi ve sıfır değeri almadığı bilgisi verilir. Problem, o zaman, $M$ üzerinden meromorf olan ve $\frac{f}{f_i}$ fonksiyonlarının holomorf olduğu ve sıfır değeri almadığı bir $f$ fonksiyonunun var olup olmadığını sorar.

İkinci Cousin problemi, sıfır değeri aldığı kümesi belirlenmiş bir değişkenli holomorf bir fonksiyonunun varlığıyla ilişkin Weierstrass teoreminin yüksek boyutlara genellemesidir. Problemin topolojik varsayımlar altında çözümü Kiyoshi Oka tarafından verilmiştir. Probleme logaritma alarak problemi toplamsal bir probleme dönüştürme yaklaşımında, birinci Chern sınıfı şekinde bir engelle karşılaşılır.

Demet kohomolojisi

Demet kuramı açısından yaklaşılacak olursa, hiçbir yerde sıfır değeri almayan holomomrf fonksiyonların demeti ${𝐎}^{*}$ olsun. Benzer bir şekilde, ${𝐊}^{*}$ sıfıra eşit olmayan meromorf fonksiyonlar demeti olsun. O zaman, bu her iki demet Abelyen grup olurlar ve böylece bölüm demeti ${𝐊}^{*}/{𝐎}^{*}$ iyi tanımlı olur. Eğer $\varphi$ gönderimi örten ise, ikinci Cousin problemi çözülebilir:

$H^0(M,{𝐊}^{*})\stackrel{\varphi }{\to }{H}^0(M,{𝐊}^{*}/{𝐎}^{*})$

Bu bölüme ilişkin uzun tam demet kohomolojisi ise şöyle olur:

$H^0(M,{𝐊}^{*})\stackrel{\varphi }{\to }{H}^0(M,{𝐊}^{*}/{𝐎}^{*})\to H^1(M,{𝐎}^{*})$

O zaman, $H^1(M,{𝐎}^{*})=0$ olduğu sürece, ikinci Cousin problemi çözülebilir. ${𝐊}^{*}/{𝐎}^{*}$ bölüm demeti $M$ üzerindeki Cartier bölenlerinin ruşeymlerinden oluşan demettir. Bu nedenle, her global kesitin bir meromorf fonksiyon tarafından üretilip üretilmediği problemi $M$ üzerindeki her doğru demetinin âşikar olup olmadığına karar vermeye eşdeğerdir.

${𝐎}^{*}$ üzerindeki çarpımsal yapı için $H^1(M,{𝐎}^{*})$ kohomoloji grubu, $H^1(M,𝐎)$ üzerindeki toplamsal yapıyla logaritma alarak karşılaştırılabilinir. Yani, en sol taraftaki demetin yerel olarak sabit olduğu ve lifinin $2\pi i\mathbb{Z}$ olduğu ve aşağıdaki gibi gösterilen bir tam demet dizisi vardır.

$0\to 2\pi i\mathbb{Z}\to 𝐎\stackrel{\exp }{\to }{𝐎}^{*}\to 0$

H¹ seviyesinde logaritmayı tanımlaya engel $H^2(M,\mathbb{Z})$'in içinde çıkar. Uzun tam demet kohomolojisinden

$H^1(M,𝐎)\to H^1(M,{𝐎}^{*})\to 2\pi i{H}^2(M,\mathbb{Z})\to H^2(M,𝐎)$

elde edilir. $M$ Stein manifoldu ise, ortadaki ok izomorfizma olur çünkü $q>0$ için $H^q(M,𝐎)=0$ vardır. Böylece, ikinci Cousin probleminin çözülebilir olması için $H^2(M,\mathbb{Z})=0$ olması gerekli ve yeterlidir.

Örnekler

• Her iki problemin de çözülebilir olduğu bir duruma, her bir $D_i$nin ($i=1,\cdots ,n$) karmaşık düzlemde birer bölge olduğu ve bu bölgelerin en fazla bir tanesinin haricinde hepsinin basit bağlantılı olduğu $D:=D_1\times \cdots D_n\subset {ℂ}^n$ kümesi örnek olarak verilebilir.
• Birinci Cousin probleminin çözülemeyeceği duruma örnek olarak $M={ℂ}^2\mathrm{\setminus }\{0\}$, $U_i=\{z_i\ne 0\}$ ($i=1,2$), $f_1=\frac{1}{z_1{z}_2}$ ve $f_2=0$ verilebilir.
• Birinci problemin çözülebilir olduğu ama ikinci problemin çözülemediği duruma örnek olarak, $M=\{(z_1,z_2)\in {ℂ}^2:\frac{3}{4}<|z_j|<\frac{5}{4},j=1,2\}$ verilebililir. Tanımlanan karmaşık düzlemdeki kümelerin çarpımından oluştuğu için holomorfluk bölgesidir ve birinci problemin bu küme üzerinde çözümü vardır. Ancak, ikinci Cousin probleminin bu küme üzerinde çözümü yoktur.

Ayrıca bakınız

• Cartan A ve B teoremleri