Damköhler sayıları

Damköhler sayıları (Da), kimyasal reaksiyonların zaman ölçeklerini, bir sistemde gerçekleşen taşınım olaylarının hızları ile karşılaştırmak için kimya mühendisliği alanında kullanılan boyutsuz sayılardır. Bu sayılar, kimya mühendisliği, termodinamik ve akışkanlar dinamiği alanlarında çalışmalar yapmış Alman kimyager Gerhard Damköhler'in adını taşımaktadır. Karlovitz sayısı (Ka), Damköhler sayısı ile ters orantılı olarak ifade edilir ve formülü Da = 1/Ka şeklindedir.

En sık kullanılan biçimiyle, birinci Damköhler sayısı (Da_I), bir akışkan bölgesindeki parçacıkların karakteristik konaklama süresi ölçeğini, reaksiyon süresi ölçeği ile ilişkilendirir. Bu konaklama süresi ölçeği, reaktörden sürekli bir şekilde (tıkaç akış veya karıştırmalı tank, yarı kesikli işlemler dahil) geçen hacimsel akış hızı gibi bir konveksiyon zaman ölçeği alabilir:

$\mathrm{D}{\mathrm{a}}_{\mathrm{I}}=\frac{\text{reaksiyon hızı}}{\text{konvektif kütle taşıma hızı}}$

Bu bağlamda, Damköhler sayısı, reaksiyon hızının konvektif kütle taşıma hızına oranını belirterek, kimyasal süreçlerin mühendislik analizinde kritik bir parametre olarak kullanılır.

Fazlar arası kütle transferi içeren reaksiyon sistemlerinde, birinci Damköhler sayısı, kimyasal reaksiyon hızının kütle transfer hızına oranı olarak ifade edilir:

${\mathrm{D}\mathrm{a}}_{\mathrm{I}}=\frac{\text{reaksiyon hızı}}{\text{difüzyon kütle transfer hızı}}$

Bu sayı, aynı zamanda karakteristik akışkan ve kimyasal süreçlerin zaman ölçekleri arasındaki oran olarak tanımlanmaktadır:

$\mathrm{D}{\mathrm{a}}_{\mathrm{I}}=\frac{\text{akış zaman ölçeği}}{\text{kimyasal zaman ölçeği}}$

Reaksiyon hızı, reaksiyonun zaman ölçeğini belirleyici olduğu için Damköhler sayısının kesin formülasyonu, uygulanan reaksiyon hız yasasına göre değişkenlik gösterir. Örneğin, A → B şeklinde genel bir kimyasal reaksiyon, n'inci dereceden güç yasası kinetiğine uygun olarak gerçekleştiğinde, konvektif bir akış sistemi için Damköhler sayısı şu şekilde tanımlanabilir:

$\mathrm{D}{\mathrm{a}}_{\mathrm{I}}=k{C}_0^{n-1}\tau$

burada:

• k, kinetik reaksiyon hız sabiti,
• C₀, başlangıç konsantrasyonunu,
• n, reaksiyonun derecesini,
• $\tau$, ortalama ikamet süresi veya mekan-zamanı temsil eder.

Öte yandan, ikinci Damköhler sayısı (Da_II), şu şekilde genelleştirilmiş bir ifade ile tanımlanmaktadır:

${\mathrm{D}\mathrm{a}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}=\frac{kQ}{c_p\mathrm{\Delta }T}$

Bu tanım, bir termokimyasal reaksiyonun süreç enerjisini, ilgili entalpi farkıyla (sürücü kuvvet) karşılaştırmaktadır.

Reaksiyon hızlarına göre ifade edildiğinde:

${\mathrm{D}\mathrm{a}}_{\mathrm{I}\mathrm{I}}=\frac{k{C}_0^{n-1}}{k_{g}a}$

şu değişkenlerle tanımlanır:

• k_g küresel kütle transfer katsayısını,
• a ise arayüz alanını belirtir.

Da sayısı, bir kimyasal sürecin dönüşme oranı hakkında hızlı bir değerlendirme yapmamızı sağlar. Da_I değeri sonsuz değere yaklaştığında, ikamet süresi, reaksiyon süresini aşarak neredeyse tüm kimyasal reaksiyonların tamamlanmasına olanak tanır. Eğer Da_I sıfıra yaklaşırsa, ikamet süresi, reaksiyon süresinden önemli ölçüde kısa kaldığı için reaksiyon mekânında kimyasal reaksiyon gerçekleşmez. Benzer bir biçimde, Da_II değeri sıfıra yaklaştığında, kimyasal reaksiyonun enerjisi, akış enerjisine kıyasla ihmal edilebilir düzeydedir. Damköhler sayısının sonsuzluk sınırına ulaşması Burke–Schumann limiti olarak adlandırılır.

Genel bir kural olarak, Da değeri 0.1'den az olduğunda %10'dan düşük bir dönüşüm, 10'dan fazla olduğunda ise %90'dan yüksek bir dönüşüm beklenir.

Tek türün ayrışması için türetme

Bir SKR kullanılarak, mükemmel karışım ve durağan durum varsayımı altında, bir tür $A$ için genel mol dengesi,

$\text{giriş}-\text{çıkış}+\text{üretim}=\text{birikim}$

şeklinde ifade edilir:

$F_{A0}-F_A+r_{A}V=0$

$F_A-F_{A0}=r_{A}V$

Sabit bir hacimsel akış hızı $v_0$ varsayıldığında, bu denklem sıvı reaktörleri veya mol sayısında net artış olmayan gaz fazı reaksiyonları için geçerlidir,

$(C_A-C_{A0})v_0=r_{A}V$

$(C_A-C_{A0})=r_A\frac{V}{v_0}$

$(C_A-C_{A0})=r_A\tau$

Burada ikamet zamanı (İng. residence time), reaktör hacminin hacimsel akış oranına bölümü olarak tanımlanır ve bir sıvı kütlenin reaktör boyunca geçiş süresini gösterir. Ayrışma reaksiyonları için, reaksiyon hızı $A$ türünün konsantrasyonunun bir kuvvetine bağlıdır. Ayrıca, basit bir ayrışma reaksiyonu için, sınırlayıcı reaktan açısından dönüşüm, tür $A$ için tanımlanabilir.

$(C_A-C_{A0})=-k{C}_A^n\tau$

$((1-X)C_{A0}-C_{A0})=-k{C}_{A0}^n\tau (1-X{)}^n$

$X=k{C}_{A0}^{n-1}\tau (1-X{)}^n$

$0=\frac{(1-X{)}^n}{X}-\frac{1}{\mathrm{D}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}}$

Damköhler sayısının artmasıyla, diğer terimlerin azalması gerektiği görülmektedir. Bu bağlamda, elde edilen polinom çözülebilir ve kural olarak kabul edilen Damköhler sayıları için dönüşüm oranları belirlenebilir. Alternatif olarak, grafik üzerinden ifadelerin çizilmesi ve ters Damköhler sayısıyla olan kesişim noktalarının incelenmesi ile dönüşüm çözümleri elde edilebilir. Grafikte, y-ekseni ters Damköhler sayısını ve x-ekseni dönüşüm oranını temsil etmektedir; kural olarak kabul edilen Damköhler sayıları kesikli çizgilerle gösterilmiştir.