Dini testi

Matematikte Dini ve Dini-Lipschitz testleri, bir fonksiyonun Fourier serisinin bir noktada yakınsadığını kanıtlamak için kullanılabilen oldukça kesin testlerdir. Bu testler, Ulisse Dini ve Rudolf Lipschitz'in arkasından isimlendirilmiştir.

Tanım

f, [0,2π] üzerinde bir fonksiyon, t bir nokta ve δ, bir pozitif sayı olsun. t 'deki yerel süreklilik modülüsü

${\omega }_f(\delta ;t)=\underset{|\epsilon |\le \delta }{\max }|f(t)-f(t+\epsilon )|$

ile tanımlanır. f burada periyodik bir fonksiyondur; yani t = 0 ise ve ε negatifse, o zaman şöyle tanımlarız: f(ε) = f(2π + ε).

Global sürekliklilik modülüsü (veya basitçe süreklilik modülüsü) ise

${\omega }_f(\delta )=\underset{t}{\max }{\omega }_f(\delta ;t)$

ile tanımlanır. Bu tanımlarla esas sonuçları ifade edebiliriz.

Teeorem (Dini testi): Bir f fonksiyonu bir t noktasında

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{\delta }{\omega }_f(\delta ;t)d\delta <\mathrm{\infty }$

eşitsizliğini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi t 'de f(t) 'ye yakınsar.

Örneğin, teorem ${\omega }_f={\log }^{-2}({\delta }^{-1})$ iken tutar ama ${\log }^{-1}({\delta }^{-1})$ iken tutmaz.

Teorem (Dini-Lipschitz testi): Bir f fonksiyonu

${\omega }_f(\delta )=o{(\log \frac{1}{\delta })}^{-1}$

ifadesini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi düzgün bir şekilde f 'ye yakınsar.

Özelde, Hölder sınıfında yer alan herhangi bir fonksiyon Dini-Lipschitz testini sağlar.

Kesinlik

Her iki test de kendi türlerinin en iyisidir. Dini-Lipschitz testi için, süreklilik modülüsü testini o yerine O ile sağlayan bir f fonksiyonu inşa etmek mümkündür; yani

${\omega }_f(\delta )=O{(\log \frac{1}{\delta })}^{-1}$

olacak ve f 'nin serisi ıraksayacak şekilde. Dini testi, kesinlik ifadesi ise biraz daha uzundur. Şunu ifade eder:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1}{\delta }\mathrm{\Omega }(\delta )d\delta =\mathrm{\infty }$

olan herhangi bir Ω fonksiyonu için bir f fonksiyonu vardır öyle ki

${\omega }_f(\delta ;0)<\mathrm{\Omega }(\delta )$

ve f 'nin Fourier serisi 0'da ıraksar.

Ayrıca bakınız

• Fourier serilerinin yakınsaklığı.