Dirichlet eta işlevi

Karmaşık düzlemde Dirichlet eta işlevi $\eta (s)$. $s$ noktasındaki renk $\eta (s)$ değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir.

Matematiğin analitik sayı kuramı alanında Dirichlet eta işlevi

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)$

olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm s karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir.

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}$

Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin s = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir.

Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı

$\eta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x+1}dx$

ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir.

Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır:

$\eta (-s)=2{\pi }^{-s-1}s\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(s)\eta (s+1)$

Sayısal Algoritmalar

Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir.

$\eta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n+1}}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{(k+1{)}^s}$

İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir.

Borwein yöntemi

Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir.

$d_k=n\sum _{i=0}^k\frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!}$

koşulu sağlanıyorsa

$\eta (s)=-\frac{1}{d_n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(-1{)}^k(d_k-d_n)}{(k+1{)}^s}+{\gamma }_n(s)$

eşitliğine ulaşılır. Burada $\mathrm{\Re }(s)\ge \frac{1}{2}$ için geçerli γ_n hata payı

$|{\gamma }_n(s)|\le \frac{3}{(3+\sqrt{8}{)}^n}(1+2|\mathrm{\Im }(s)|)\exp (\frac{\pi }{2}|\mathrm{\Im }(s)|)$

olarak hesaplanır.

Hata payındaki $3+\sqrt{8}\approx 5.8$ ifadesi Borwein dizisinin artan n değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir.

Özel değerler

• η(0) = ¹⁄₂, Grandi dizisinin (1 − 1 + 1 − 1 + · · ·) Abel toplamı
• η(−1) = ¹⁄₄, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · dizisinin Abel toplamı
• k 1'den büyük bir tam sayı olmak üzere B_k k. Bernoulli sayısı ise

  $\eta (1-k)=\frac{2^k-1}{k}{B}_k$

Ayrıca,

$\eta (1)=\ln 2$ (almaşık harmonik dizi)

$\eta (2)=\frac{{\pi }^2}{12}$

$\eta (4)=\frac{7{\pi }^4}{720}$

$\eta (6)=\frac{31{\pi }^6}{30240}$

$\eta (8)=\frac{127{\pi }^8}{1209600}$

$\eta (10)=\frac{73{\pi }^{10}}{6842880}$

$\eta (12)=\frac{1414477{\pi }^{12}}{1307674368000}$

Pozitif çift tam sayılar için geçerli genel ifade şöyledir:

$\eta (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{B_{2n}{\pi }^{2n}(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça

• Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta FunctionŞablon:Webarşiv, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34
• Xavier Gourdon & Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-functionŞablon:Webarşiv, Numbers, constants and computation (2003)
• Borwein, P., http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/Şablon:Webarşiv
• Şablon:Kitap kaynağı