Droz-Farny doğru teoremi

Şablon:Ortala

Öklid geometrisinde, Droz-Farny doğru teoremi, keyfi bir üçgenin yükseklik merkezinden (ortosantr) geçen iki dik doğrunun bir özelliğidir.

$T$, köşeleri $A$, $B$ ve $C$ olan bir üçgen ve $H$, yükseklik merkezi (üç yüksekliğin kesiştiği ortak nokta) olsun. $L_1$ ve $L_2$, $H$ üzerinden geçen birbirine dik herhangi iki doğru olsun. $A_1$, $B_1$ ve $C_1$ sırasıyla $L_1$'in $BC$, $CA$ ve $AB$ kenar doğrularıyla kesiştiği noktalar olsun. Benzer şekilde, $A_2$, $B_2$ ve $C_2$ de $L_2$'nin bu kenar doğrularıyla kesiştiği noktalar olsun. Droz-Farny doğru teoremi, üç doğru parçası $A_1{A}_2$,$B_1{B}_2$ ve $C_1{C}_2$'nin orta noktalarının eşdoğrusal olduğunu ifade eder.

Teorem, Arnold Droz-Farny tarafından 1899'da dile getirilmiştir ancak bir kanıtı olup olmadığı net değildir.

Goormaghtigh'in genellemesi

Droz-Farny doğru teoreminin bir genellemesi 1930'da René Goormaghtigh tarafından kanıtlandı.

Yukarıdaki gibi $T$, köşeleri $A$,$B$ ve $C$ olan bir üçgen olsun. $P$, $A$, $B$ ve $C$'den farklı herhangi bir nokta olsun ve $L$, $P$ üzerinden geçen herhangi bir doğru olsun. $A_1$, $B_1$ ve $C_1$ sırasıyla $BC$, $CA$ ve $AB$ kenar doğruları üzerindeki, $P{A}_1$, $P{B}_1$ ve $P{C}_1$ $L$ doğrusuna göre simetrik (yansıtma yoluyla) sırasıyla $PA$, $PB$ ve $PC$ doğrularının görüntüleri olacak şekilde noktalar olsun. Daha sonra Goormaghtigh teoremi $A_1$, $B_1$ ve $C_1$ noktalarının eşdoğrusal olduğunu söyler.

Droz-Farny doğru teoremi, $P$, $T$ üçgeninin yükseklik merkezi olduğunda bu sonucun özel bir durumudur.

Dao'nun genellemesi

Teorem, Dao Thanh Oai tarafından daha da genelleştirildi. Genelleme aşağıdaki gibidir:

İlk genelleme: $ABC$ bir üçgen olsun, $P$ düzlemdeki bir nokta olsun, üç paralel doğru parçası $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ olsun, böylece orta noktalar ve $P$ eşdoğrusal olsun. Daha sonra $P{A}^{\prime },P{B}^{\prime },P{C}^{\prime }$ sırasıyla üç eşdoğrusal noktada $BC,CA,AB$ ile kesişir.

Şablon:Ortala

İkinci genelleme: Düzlemde bir konik $S$ ve bir $P$ noktası olsun. Konik ile sırasıyla $A,A^{\prime }$; $B,B^{\prime }$; $C,C^{\prime }$ noktasında kesişecek şekilde, $P$'den geçen üç $d_a,d_b,d_c$ doğrusu oluşturun. $D$, ($S$)'ye göre $P$ noktasının kutup doğrusu üzerinde bir nokta olsun veya $D$ konik ($S$) üzerinde yer alır. $D{A}^{\prime }\cap BC=A_0$; $D{B}^{\prime }\cap AC=B_0$; $D{C}^{\prime }\cap AB=C_0$ olsun. O zaman $A_0,B_0,C_0$ eşdoğrusaldır.

Konuyla ilgili yayınlar

• Şablon:Kaynak veya Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak

Dış bağlantılar

• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı
• Şablon:Web kaynağı