Düzgünlük

Matematiğin bir alt dalı olan analizde düzgünlük, bir fonksiyonun tanım bölgesinde sürekli bir şekilde türevlenebilme sayısı ile ölçülen bir özelliktir. Bir fonksiyonun türevlenebilirlik sınıfı sayesinde fonksiyonun kaçıncı mertebeden sürekli bir türevi olup olmadığı belirlenir. Sonuç olarak, fonksiyonlara sonsuz kere türevli (düzgün fonksiyon) veya $k$ kere sürekli türevlenebilir fonksiyon denir.

Tanımlar

Türevlenebilirlik sınıfı, fonksiyonların türevlerinin özelliklerine göre sınıflandırılmasıdır. Bir fonksiyonun, eğer varsa, en yüksek mertebeli türevi ve bu türevin sürekli olması, bu fonksiyonun türevlenebilirlik sınıfının kıstasıdır.

Sürekli (C⁰) fonksiyon

Eğer bir fonksiyon sadece sürekli ise ve hiç türevlenemez ise ya da fonksiyonun türevli olup olmadığından bağımsız olarak sadece sürekli olduğuna vurgu yapılmak istendiğinde, fonksiyon için $C^0$ gösterimi kullanılır.

Sürekli türevlenebilir (C^k) fonksiyon

Şablon:Ana $k$ pozitif bir tamsayı olmak üzere, en az $k$ kere türevlenebilen ve $k$'inci türevi sürekli olan bir fonksiyonun türevlenebilirlik sınıfını göstermek için $C^k$ gösterimi kullanılır. Daha matematiksel bir ifadeyle, açık bir $\mathrm{\Omega }$ kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon $k$ kere türevlenebilen ve $k$'inci türevi sürekli olan bir fonksiyon ise, o zaman $f\in C^k(\mathrm{\Omega })$ yazılır ve fonksiyona $k$ kere sürekli türevlenebilir fonksiyon denir.

Bu fonksiyon sınıfları birbirinin içine özalt olacak şekildedirler; yani, her $k>0$ için, $C^k$ sınıfı $C^{k-1}$ sınıfının içindedir ve $C^k⊊C^{k-1}$ özelliğini gösterecek $C^{k-1}$ fonksiyonları vardır.

Düzgün (C^∞) fonksiyon

Yumru fonksiyonu, tıkız destekli düzgün bir fonksiyondur.

Tanım kümesindeki bütün noktalarda sonsuz kere türevli olan, yani, keyfi bir $k$ pozitif bir tamsayısı için $k$'inci türevi var olan bir fonksiyona düzgün fonksiyon ya da sonsuz türevli fonksiyon denir. Düzgün bir fonksiyonun türevlenebilirlik sınıfını göstermek için $C^{\mathrm{\infty }}$ gösterimi kullanılır. Daha matematiksel bir ifadeyle, açık bir $\mathrm{\Omega }$ kümesi üzerinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon sonsuz türevlenebilir bir fonksiyon ise, o zaman $f\in C^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ yazılır.

Analitik fonksiyon

Şablon:Ana Bir fonksiyon düzgün fonksiyon ise ve tanım kümesi içindeki her noktanın bir komşuluğunda Taylor serisi fonksiyona o noktada yakınsıyorsa, o zaman bu fonksiyona analitik fonksiyon denir. Düzgün olup da analitik olmayan fonksiyonlar vardır. Yumru fonksiyonu bu tür bir örnektir. Holomorf fonksiyonlar karmaşık analitiktir. Analitik fonksiyonlar için $C^{\omega }$ gösterimi mevcuttur; ancak, genelde bu gösterim okuyucuya ilk gösterildiğinde açıklanır. Analitikliğe vurgu yapılmak istendiğinde, bir fonksiyonun gerçel analitik ya da karmaşık analitik olduğundan genelde yazı ya da söz ile bahsedilip gösterimlerin karmaşaya yol açmaması hedeflenir.

Örnekler

Sürekli (C⁰) ama türevlenebilir değil

Şablon:Kayma için Şablon:Kayma ve Şablon:Kayma için Şablon:Kayma olarak tanımlananan fonksiyon C⁰ fonksiyonudur.

Grafiğinin sıfır noktasında köşesi olan aşağıdaki fonksiyon süreklidir ama sıfır noktasında türevi yoktur. $$f(x)=\{\begin{array}{cc}x& x\ge 0,\\ 0& x<0\end{array}$$

Sonlu kere sürekli türevlenebilir (C^Şablon:Mvar)

Her [[çift sayı|çift Şablon:Mvar tamsayısı]] için, $$f(x)=|x{|}^{k+1}$$ fonksiyonu her $x$ noktasında süreklidir ve $k$ kere türevlenebilir. Yani, fonksiyon C^Şablon:Mvar fonksiyondur. Ancak, Şablon:Kayma noktasında, fonksiyon Şablon:Kayma kere türevli değildir. Bu sebeple, fonksiyon C^Şablon:Mvar fonksiyondur ama fonksiyon C^Şablon:Mvar fonksiyon değildir. Genellersek, fonksiyon Şablon:Kayma için C^Şablon:Mvar fonksiyondur ama Şablon:Kayma için C^Şablon:Mvar fonksiyon değildir.

Türevlenebilir ama sürekli türevlenebilir değil (C¹ değil)

$x\ne 0$ iken $f(x)=x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ ve $f(0)=0$ olarak tanımlanan fonksiyonun türevi vardır. Ancak bu türev, 0 noktasında sürekli değildir; yani, fonksiyon sürekli bir şekilde türevli değildir.

$$g(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)& x\ne 0,\\ 0& x=0\end{array}$$ fonksiyonunun türevi $$g^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}-\cos \left(\frac{1}{x}\right)+2x\sin \left(\frac{1}{x}\right)& x\ne 0,\\ 0& x=0\end{array}$$ tarafından verilir. Ancak, $\cos (1/x)$ fonksiyonu Şablon:Mvar → 0 iken salınacağından, $g^{\prime }(x)$ fonksiyonu sıfır noktasında sürekli olmaz. Bu yüzden, $g(x)$ fonksiyonunun türevi vardır ama türevi sürekli değildir. O yüzden, bu fonksiyon, C¹ sınıfına ait değildir.

Türevlenebilir ama Lipschitz sürekli değil

$$h(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^{4/3}\sin \left(\frac{1}{x}\right)& x\ne 0,\\ 0& x=0\end{array}$$ fonksiyonu türevlenebilirdir ama fonksiyonun türevi tıkız bir küme üzerinde sınırsızdır. Bu yüzden, $h$ fonksiyonu türevlenebilir olup, yerel olarak Lipschitz sürekli olmayan bir fonksiyon örneğidir.

Analitik (C^Şablon:Mvar)

Üstel fonksiyon $e^x$ analitik fonksiyondur ve bu yüzden, C^ω sınıfına aittir. Trigonometrik fonksiyonlar da tanımlı oldukları bölgelerde analitiktir; çünkü, Euler formülü sayesinde, $e^{ix}$ ve $e^{-ix}$ fonksiyonlarının doğrusal katışımıdırlar (kombinasyonudurlar).

Düzgün ama analitik değil

Düzgün olan ama analitik olmayan bir fonksiyon örneği

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{x}}& x>0\text{ iken},\\ 0& \text{ diğer durumlarda}\end{array}$$ olarak tanımlanan fonksiyon düzgündür ama Şablon:Kayma noktasında fonksiyonun Taylor serisi sıfır fonksiyonuna eşittir ama fonksiyonun kendisi sıfır fonksiyonuna eşit değildir; yani, bu fonksiyon analitik değildir. Fonksiyonun sıfır değeri almadığı noktaların kümesinin kapanışı negatif-olmayan gerçel sayılar olduğu için fonksiyonun destek kümesi tıkız değildir. Diğer taraftan, $$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{1-x^2}}& |x|<1\text{ iken},\\ 0& \text{ diğer durumlarda}\end{array}$$ olarak tanımlanan yumru fonksiyonu düzgün fonksiyondur ama Şablon:Kayma noktalarında analitik değildir. Bu fonksiyon, aynı zamanda, tıkız destekli ve gerçel değerli düzgün fonksiyonlara bir örnektir. Karmaşık değerli analitik fonksiyonlar ele elındığında, yani holomorf fonksiyonlar için, tıkız destekli tam fonksiyonlar ya da tanım kümesinin tıkız desteğinden farkı sayılamaz çoklukta nokta içeren holomorf fonksiyonlar sıfır fonksiyonuna özdeştir.

Ayrıca bakınız

• Bağ interpolasyonu