E sayısı

Şablon:Diğer anlamı2 Şablon:Mvar sayısı veya Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayı, doğal logaritmanın tabanı. Şablon:Mvar sayısı aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir ve tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz. Yaklaşık değeri şöyledir:

$e=2,71828182845904523536..10.$

Tarih

Şablon:Mvar sabitine dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618'de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, Şablon:Mvar sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır; fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. Şablon:Mvar sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, Şablon:Mvar sayısını 1683'te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite Şablon:Mvar ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir. Euler ilk olarak 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten "Şablon:Mvar sayısı" diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim Şablon:Mvar olmuştur.

Euler Şablon:Mvar sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise Şablon:Mvar sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. Şablon:Mvar^,nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından, aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.

Eşdeğer tanımlar

Beşinci tanıma göre, 1 < x < Şablon:Mvar için y = 1/x eğrisinin altındaki alan 1'e eşittir.

1. Şablon:Mvar sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x.$

2. Şablon:Mvar sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

$\frac{d}{dx}{\log }_{e}x=\frac{1}{x}.$

Buradaki ${\log }_{e}x$ ifadesi, Şablon:Mvar tabanlı logaritmayı temsil etmektedir. Bazen ${\log }_{e}x$ ifadesi yerine ln x ifadesi de kullanılır.

3. Şablon:Mvar sayısı, aşağıdaki limite eşittir:

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n.$

4. Şablon:Mvar sayısı, aşağıdaki sonsuz toplama eşittir:

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots$

Buradaki n! ifadesi, n faktöriyeli temsil etmektedir: n! = 1 × 2 × 3 × ... × n.

5. Şablon:Mvar sayısı, aşağıdaki integral denklemini sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx=1.$

Uygulamalar

Bileşik faiz problemi

Jakob Bernoulli, Şablon:Mvar sabitini bileşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir. Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir. Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa, bir sene sonra 2 lirası olacaktır. Diğer yandan bu yıllık faiz %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + ½)² = 2,25 lira olacaktır. Benzer şekilde eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)⁴ = 2,44140625 lira olacak, faiz her ay %8,333... oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12)¹² = 2,6130... lira olacaktır. Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2,6925... lira, her gün işleyen faiz yıl sonunda 2,71453... lira verecektir.

Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır. Yukarıdaki 3 numaralı tanımdan da görüldüğü üzere yakınsanan değer Şablon:Mvar sayısıdır.

Bernoulli denemeleri

Şablon:Mvar sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar. Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/Şablon:Mvar (%36,787...) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır. n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/Şablon:Mvar^,ye o kadar yakın olur.

Kumarcının n seferde k kere kazanma olasılığı, binom dağılımına göre aşağıdaki değere eşittir:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\left(\frac{1}{n}\right)}^k{(1-\frac{1}{n})}^{n-k}.$

Buna göre, n seferde k = 0 kere kazanma olasılığı, (1 - 1/n)ⁿdir ve bu ifade, n büyüdükçe 1/Şablon:Mvar^,ye yaklaşır.

Şapka problemi

Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim. Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor. Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:

$p_n=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{1}{n!}.$

Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/Şablon:Mvar değerine yaklaşacaktır.

Kaynakça

• Şablon:Web kaynağı

Dış bağlantılar

• Şablon:Web kaynağı

Şablon:Dolaşım Şablon:Otorite kontrolü