Elementer matris

Doğrusal cebirde, bir birim matrisde yalnızca bir tane elementer satır işlem yapılarak elde edilen matrislere elementer matris denir. m boyutunda bir birim matrisin üzerinde e elementer satır işlemi yapılarak elde edilen elementer matris $e(I_m)$ şeklinde gösterilir.

Elementer Satır İşlemleri

Üç çeşit elementer satır işlemi vardır:

Yer değiştirme

Matrisin iki satırdaki tüm elemanların yerlerini değiştirilmesi.

$R_i\leftrightarrow R_j$

Çarpma

Matrisdeki bir satırın her elemanın, sıfır dışında bir katsayı ile çarpılması.

$k{R}_i\to R_i,k\ne 0\text{ iken}$

Toplama

Matrisdeki satırlardan birinin, bir katının diğer bir satıra eklenmesi.

$R_i+k{R}_j\to R_i,i\ne j\text{ iken}$

Elementer Matrislerin Tersi

Her elementer matris tersinirdir ve

$(e(I_m){)}^{-1}=e^{-1}(I_m)$

yani $e(I_m)$ elementer matrisinin tersini almak yerine, $I_m$ birim matrisi üzerinde $e$ elementer işlemini tersi uygulanabilir. Elementer işlemlerin tersi şöyle tanımlanmıştır:

Yer değiştirmenin tersi

$e:R_i\leftrightarrow R_j$ ise

$e^{-1}:R_j\leftrightarrow R_i$

Yani yer değiştirme işleminin tersi kendisine eşittir çünkü $R_i$ ve $R_j$ satırlarının yerini değiştirmek ile $R_j$ ve $R_i$ satırlarının yerini değiştirmek aynı şeye denk gelmektedir. Bundan dolayı da yer değiştirme işlemi uygulanarak elde edilen elementer matrislerin tersi kendilerine eşittir.

Çarpmanın tersi

$e:k{R}_i\to R_i,k\ne 0\text{ iken}$ ise

$e^{-1}:\frac{1}{k}{R}_i\to R_i,k\ne 0\text{ iken}$

Toplamanın tersi

$e:R_i+k{R}_j\to R_i,i\ne j\text{ iken}$ ise

$e^{-1}:R_i+(-k)R_j\to R_i,i\ne j\text{ iken}$

Kaynakça

• Arif Sabuncuoğlu lineer cebir ders notları, Mat201, TOBB ETU