Euler teoremi (geometri)

Şablon:Ortala

Geometride, Euler teoremi, bir üçgenin çevrel çemberinin ve iç teğet çemberinin merkezleri arasındaki uzaklıkla bu çemberlerin yarıçapları arasında bir ilişki kuran temel bir sonuçtur. Teorem, adını, bu sonucu 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır. Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.

Teoremin ifadesi

Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$, içteğet çemberin yarıçapı $r$ ve bu iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık $d$ ise, o zaman

$d^2=R(R-2r)$

eşitliği vardır. Eşitlik ifadesi, eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde de yazılabilir:

$\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}$.

Euler eşitsizliği

Uzaklık kavramı negatif-olmayan bir gerçel sayıyı işaret ettiği için, teoremde $d=R(R-2r)\ge 0$ yazılıp Euler eşitsizliği elde edilir:

$R\ge 2r.$

Burada, eşitlik hali, yani, $R=2r$ olması, ancak ve ancak bahsi geçen üçgenin eşkenar üçgen olması durumunda geçerlidir.

Eşitsizliğin daha güçlü bir hâli de vardır. $a,b,c$ üçgenin kenar uzunlukları olmak üzere

$\frac{R}{r}\ge \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1\ge \frac{2}{3}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\ge 2$,

eşitsizliği yazılabilir.

Teoremin ispatı

Dosya:EulerTeoremi.png

Şablon:Ortala

$O$ noktası, $\mathrm{△}ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi ve $I$ noktası üçgenin iç teğet çemberinin merkezi olsun.
$AI$'nın uzantısının çevrel çemberi kestiği noktaya $L$ diyelim. Bir iç teğet çemberin merkezi üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktası olduğu için, $AI$ doğrusu, $BAC$ nin açıortayıdır. O halde $BL$ ve $LC$ yayları eşit uzunluğa sahiptir. Böylece, $L$ noktası, $BC$ yayının orta noktasıdır.
$L$ ve $O$'dan geçen doğruyu uzatıp bu doğrunun çevrel çemberi kestiği diğer noktaya $M$ diyelim. Böylelikle, $ML=2R$ olur. $I$'dan $AB$ kenarına bir dik çizelim ve bu dikmenin kenarı kestiği noktaya $D$ diyelim. O zaman, $ID=r$ olur.

$\mathrm{△}ADI$ üçgeninin $\mathrm{△}MBL$ üçgenine benzer olduğunu kanıtlamak zor değildir. Böylece,

$\frac{ID}{BL}=\frac{AI}{ML},$

yani, $ID\times ML=AI\times BL$ elde edilir. $ID$ ve $ML$ uzunluklarının değerlerini yerine koyarak

$2Rr=AI\times BL$

olur. $BI$'yı birleştirilince, iç teğet üçgenin açıortay özelliğinden

$\mathrm{\angle }BIL=\frac{\mathrm{\angle }A}{2}+\frac{\mathrm{\angle }B}{2}$

olduğu elde edilir. Diğer taraftan, $L$ noktasını $BC$ yayının orta noktası olduğundan, $\mathrm{\angle }CBL=\frac{\mathrm{\angle }A}{2}$ olur. İç teğet üçgenin açıortay özelliğinden $\mathrm{\angle }IBC=\frac{\mathrm{\angle }B}{2}$ olacağından,

$\mathrm{\angle }IBL=\frac{\mathrm{\angle }ABC}{2}+\mathrm{\angle }CBL=\frac{\mathrm{\angle }B}{2}+\frac{\mathrm{\angle }A}{2}$

elde edilir. Sonuç olarak, $\mathrm{\angle }BIL=\mathrm{\angle }IBL$ elde edilmiştir. Bir üçgende aynı açılara sahip kenarların uzunluğu aynı olduğundan, $BL=IL$ elde edilir.

$AI\times IL=2Rr$ olduğu bilgisine sahibiz. $OI$ doğru parçasını çevrel çemberi $P$ ve $Q$ noktalarında kesecek şekilde uzatalım. O halde,

$PI\times QI=AI\times IL=2Rr,$

yani,

$(R+d)(R-d)=2Rr$

elde edilir. Sonuç olarak,

$d^2=R(R-2r)$

olur.

Dış teğet çember için Euler teoremi

Şablon:Colorbox bir üçgen,
Şablon:Colorbox iç teğet çember, iç teğet çemberin merkezi ($I$),
Şablon:Colorbox dış teğet çemberler, dış teğet çemberlerin merkezleri ($J_A$, $J_B$, $J_C$),
Şablon:Colorbox iç açıortaylar
Şablon:Colorbox dış açıortaylar,
Şablon:Colorbox yeşil üçgen dışsal üçgen,
Şablon:Colorbox A, B, C noktalarından geçen çember ise üçgenin çevrel çemberi olur.

$A$ tepe noktasının karşısındaki dış teğet çemberin yarıçapı $r_a$ olsun. Dış teğet çemberin merkezi ile çevrel çemberin merkezi arasındaki uzaklık ise $d_a$ ile gösterilsim. O zaman,

$d_a^2=R(R+2r_a)$

olur.

Mutlak geometride Euler eşitsizliği

Euler eşitsizliğinin şu biçimi mutlak geometride geçerlidir: Bir çember içinde çizilen tüm üçgenler arasında,

• sadece eşkenar üçgenlerin alanın en büyüktür,
• iç teğet çemberlerinin yarıçapı en büyük olanlar eşkenar üçgenlerdir; yani, sonuç olarak $R\ge 2r.$

Ayrıca bakınız

• İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi
• Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı $R$, $r$ ve $d$) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir.
• Üçgen eşitsizlikleri listesi

Dış bağlantılar

• Şablon:MathWorld
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak

Konuyla ilgili yayınlar

• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak