Evrensel cebir

Evrensel cebir, matematiğin bir dalı olup bütün cebirsel yapılara ortak olan özellikleri inceleyen bilimin adıdır.

Evrensel cebirde, bir (soyut) cebir bir birim $A$ ve onun tanımlı olan operasyonlardan oluşur. (Operasyon sembolları sadece "fonksiyonların ismi" olarak kullanılır).

Operasyonların toplamına "imza" (en. "signature") adı verilir $\mathrm{\Sigma }=\{+,*\}$.

$+::A\times A\to A$

$*::A\times A\to A$

$0::\to A$

$1::\to A$

0,1 gibi operasyonlara "sabit" denilir. Operasyonlar soyut bir şekilde eşitliklerle tarif edilebilir. Mesela alttaki eşitliklerin tümüne "E" diyelim.

$0+x=x$

$x+y=y+x$

$(x+y)+z=x+(y+z)$

$x*1=x$

$x*y=y*x$

$(x*y)*z=x*(y*z)$

Yukardaki imza $\mathrm{\Sigma }$ bir cebir doğasal sayılardır $N(\mathbb{N},{+}^N,{*}^N,0^N,1^N)$. Burada ${+}^N$ bildiğimiz "arti" fonksiyonudur.

Bu cebir yukardaki $E$ adı verdiğimiz tüm eşitlikleri "kabul eder" (en. "satisfy")$N\models E$. Başka bir deyimle, N yapısı E'nin bir modelidir.

E'nin başka bir bir modelini daha tanimlayalım.$B=(\{a,b\},{+}^B,{*}^B,0^B,1^B)$

$0^B\mapsto a$

$1^B\mapsto b$

$a{+}^{B}a\mapsto a$

$a{+}^{B}b\mapsto b$

$b{+}^{B}a\mapsto b$

$b{+}^{B}b\mapsto b$

$a{*}^{B}a\mapsto a$

$a{*}^{B}b\mapsto a$

$b{*}^{B}a\mapsto a$

$b{*}^{B}b\mapsto b$

Bunun bir model olduğunu (yani $B\models E$ ifadesini) kanıtlamak kolaydır.

Evrensel cebirde önemli sorulardan birkaç tanesi:

• Bir eşitlikler birimini $E$ nin modeli var mıdır?
• E'nin tüm modellerin ortak özellikleri nedir
• E'nin modelleri, E'den başka hangi eşitlikleri "kabul eder" ?

Mesela $x=1*x$ eşitliği, yukardaki $E$nin bir neticesidir. $E\models x=1*x$ yazarak bunu ifade ederiz.

$\{s=t|E\models s=t\}$ birimine "E'nin teorisi" denilir.

Kaynakça

• Wolfgang Wechler. Universal Algebra. Springer-Verlag

Dış bağlantılar

• A Course in Universal AlgebraŞablon:Webarşiv Stanley N. Burris and H.P. Sankappanavar tarafından hazırlanan açık bir evrensel cebir ders kitabıdır.