Filtreleme (olasılık teorisi)

Şablon:Karıştırma Matematiğin bir alt dalı olan olasılık teorisinde ve rassal süreçlerde, filtreleme ya da süzgeç azalmayan bir σ-cebiri ailesidir. Amerikalı matematikçi Joseph Doob tarafından 1953'te literatüre sokulmuştur.

Tanım

$(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ bir olasılık uzayı ve $T\subset ℝ$ olsun. Eğer bir σ-cebiri ailesi $\{{ℱ}_t{\}}_{t\in T}$ için ${ℱ}_s\subset {ℱ}_t\subset ℱ,\mathrm{\forall }s\le t,s,t\in T$ sağlanıyorsa, $\{{ℱ}_t{\}}_{t\in T}$'ye $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ olasılık uzayının bir filtrelemesi ya da süzgeci denir.

Bir rassal sürecin doğal filtrelemesi

Bir olasılık uzayı üzerinde tanımlanan $\{X_t{\}}_{t\in T}$ rassal süreci için aşağıdaki gibi bir σ-cebiri ailesi tanımlansın.

${ℱ}_t^X=\sigma \{X_s\mid s\le t,s\in T\},t\in T.$.

O zaman, ${\left\{{ℱ}_t^X\right\}}_{t\in T}$ bir filtreleme olur ve buna $\{X_t{\}}_{t\in T}$ rassal sürecinin doğal filtrelemesi denir.

Süreklilik

Bir olasılık uzayının filtrelemesinin soldan ve sürekli olması kavramı bazen değişik sonuçlarda teknik gereklilik olarak yazılır.

$(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ bir olasılık uzayı, $T=[0,\mathrm{\infty })$ ve $\{{ℱ}_t{\}}_{t\ge 0}$ de bu olasılık uzayının filtrelemesi olsun.

• Her $t>0$ için, ${ℱ}_{t^{-}}:=\sigma \left(\bigcup _{s<t}{ℱ}_s\right)$
• ${ℱ}_{0^{-}}:={ℱ}_0$
• Her $t\ge 0$ için, ${ℱ}_{t^{+}}:=\sigma \left(\bigcap _{\epsilon >0}{ℱ}_{s+\epsilon }\right)$

tanımlayalım. O halde, her $t\ge 0$ için

• $\{{ℱ}_t{\}}_t=\{{ℱ}_t{\}}_{t^{+}}$ ise $\{{ℱ}_t{\}}_{t\ge 0}$ filtrelemesi sağdan sürekli
• $\{{ℱ}_t{\}}_t=\{{ℱ}_t{\}}_{t^{-}}$ ise $\{{ℱ}_t{\}}_{t\ge 0}$ filtrelemesi soldan sürekli

denir. Bir filtreleme hem sağdan hem de soldan sürekliyse, o zaman bu filtrelemeye sürekli filtreleme denir.

Tam filtrelemeler

$(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ bir olasılık uzayı ve $\mathbb{(}{ℱ}_t{)}_{t\in I}$ bu uzayın bir filtrelemesi olsun.

$𝒩:=\{N\subset \mathrm{\Omega }\mid \mathrm{\exists }A\in ℱ:N\subset A\wedge P(A)=0\}$

tanımlayalım. Yani, $𝒩$, $P$-sıfır kümelerin altkümesi olan kümelerin kümesidir. Her $t\in T$ için, $𝒩\in {ℱ}_t$ sağlanırsa $(\mathrm{\Omega },{ℱ}_t,P)$ uzayı tam bir ölçü uzayı olur ve $\mathbb{(}{ℱ}_t{)}_{t\in I}$ tam filtreleme denir.

Artırılmış filtrelemeler

Sağdan sürekli ve tam olan filtrelemelere artırılmış filtrelemeler denir. Eğer bir filtreleme artırılmış filtrelemeyse, filtreleme olağan koşulları sağlar kullanımı da vardır.

Ayrıca bakınız

• Markov süreci
• Martingal

Kaynakça

• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak
• Şablon:Kaynak