Friedrichs eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan fonksiyonel analizde Friedrichs eşitsizliği bir fonksiyonun zayıf türevlerini ve bu fonksiyonun tanımlı olduğu bölgenin geometrisini kullanarak fonksiyonun L^p normuna sınır koyan bir teoremdir. Eşitsizlik, Kurt Friedrichs'in adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$\mathrm{\Omega }$, Öklid uzayı ${ℝ}^n$’de, çapı $d$ olan sınırlı bir altküme olsun. Sobolev uzayı $W_0^{k,p}(\mathrm{\Omega })$nın elemanı olan bir $u:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ fonksiyonu olsun. Diğer deyişle, $u\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$ ve $u$'nun $\mathrm{\Omega }$'nın sınırı $\partial \mathrm{\Omega }$ üzerindeki izi 0 olsun. O zaman, $\Vert \cdot {\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}$ gösterimi L^p normu, α = (α₁, ..., α_n) çoklu indeksi için norm |α| = α₁ + ... + α_n ve son olarak, $D^{\alpha }u$ gösterimi ${\mathrm{D}}^{\alpha }u=\frac{{\partial }^{|\alpha |}u}{\underset{x_1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\cdots \underset{x_n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}}$ karışık kısmi türevi olmak üzere şu eşitsizlik sağlanır:

$$\Vert u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}\le d^k{(\sum _{|\alpha |=k}\Vert {\mathrm{D}}^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}^p)}^{1/p}.$$

Ayrıca bakınız

• Poincaré eşitsizliği