Gårding eşitsizliği

Matematikte Gårding eşitsizliği gerçel bir eliptik kısmi diferansiyel operatör tarafından doğurulan çifte doğrusal biçime bir alt sınır veren bir sonuçtur. Eşitsizlik, Lars Gårding'in adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$\mathrm{\Omega }$, $n$ boyutlu Öklid uzayında sınırlı ve açık bir bölge olsun. Zayıf türevleri $L^2(\mathrm{\Omega })$'da yer alan ve $k$-kere zayıf türevlenebilen $u:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ fonksiyonlarından oluşan Sobolev uzayı $H^k(\mathrm{\Omega })$ ile gösterilsin. $\mathrm{\Omega }$, ayrıca, $k$-genişleme özelliğine sahip olan bir bölge olsun; diğer deyişle, bir sınırlı doğrusal $E:H^k(\mathrm{\Omega })\to H^k({ℝ}^n)$ operatörü aracılığıyla $Eu{|}_{\mathrm{\Omega }}=u$ özelliği her $u\in H^k(\mathrm{\Omega })$ için sağlanabilsin.

$L$, bir doğrusal kısmi diferansiyel operatör olsun ve aşağıdaki gibi 2k mertebeli (yani, çift mertebeli), diverjans biçiminde yazılabilsin:

$(Lu)(x)=\sum _{0\le |\alpha |,|\beta |\le k}(-1{)}^{|\alpha |}{\mathrm{D}}^{\alpha }(A_{\alpha \beta }(x){\mathrm{D}}^{\beta }u(x))$

Ayrıca, L düzgün eliptik olsun; diğer deyişle, bir θ > 0 sabiti için

$\sum _{|\alpha |,|\beta |=k}{\xi }^{\alpha }{A}_{\alpha \beta }(x){\xi }^{\beta }>\theta |\xi {|}^{2k}\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega },\xi \in {ℝ}^n\setminus \{0\}$

sağlansın. Son olarak, |α| = |β| = k için, A_αβ katsayıları $\mathrm{\Omega }$'nın kapanışında sınırlı ve sürekli fonksiyonlar olsun ve şu özellik sağlansın:

$A_{\alpha \beta }\in L^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })\mathrm{\forall }|\alpha |,|\beta |\le k.$

O zaman, Gårding eşitsizliği sağlanır; yani, L tarafından doğurulan çifte doğrusal biçim

$B[v,u]=\sum _{0\le |\alpha |,|\beta |\le k}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{A}_{\alpha \beta }(x){\mathrm{D}}^{\alpha }u(x){\mathrm{D}}^{\beta }v(x)\mathrm{d}x$

olmak üzere

$B[u,u]+G\Vert u{\Vert }_{L^2(\mathrm{\Omega })}^2\ge C\Vert u{\Vert }_{H^k(\mathrm{\Omega })}^2\mathrm{\forall }u\in H_0^k(\mathrm{\Omega })$

eşitsizliğini sağlayan pozitif bir $C$ sayısı ve negatif olmayan bir $G$ sayısı vardır.