Gelfond sabiti

$e^{\pi }\approx 23.14069263277926\dots .$

sayısına Aleksandr Gelfond'a atfen Gelfond sabiti adı verilmiştir; e^π e sayısının π'nci kuvvetidir ve aşkın sayıdır. Gelfond-Schneider teoremi ile kanıtlanabilir. $e^{\pi }=(e^{i\pi }{)}^{-i}=(-1{)}^{-i}$ bağıntısında i sayısı imajiner kısımdır ve -i'de cebirsel bir sayıdır, ama $e^{\pi }$ cebirsel sayılar'dan değildir, yani transandantal sayılar dandır ve Hilbert'in yedinci teoreminde bahsi geçer. Matematiksel açıdan estetik olan yönü;

$e^{\pi }=i^{-2i}$ veya $e^{\pi /2}=i^{-i}$

ifadesi ile daha iyi anlaşılabilir. Çünkü eşitliğin bir tarafı tamamen reel'ken diğer tarafı tamamen imajinerdir. (hangisi gerçek?!)

Nümerik değeri

Gelfond sabiti onluk sayı sisteminde açılımında:

$e^{\pi }\approx 23.14069263277926\dots .$

$k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$ olarak tanımlarsak;

$k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}$

$n>1$ için bu diziŞablon:Kaynak belirt

$(4/k_n{)}^{2^{1-n}}$ şeklinde gösterilebilir.

bununda limiti $e^{\pi }$ şeklindedir.

Geometrik gariplik

n-boyutlu kürenin (veya n-sphere) hacmi

$V_n=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}.$

şeklinde verilir.

Birim veya üzeri tüm boyutlardaki kürenin hacmini özetleyen formül

$V_{2n}=\frac{{\pi }^n}{n!}$

Birim ve üzerindeki boyutlardaki kürelerin hacimlerinin toplamını veren formül:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{V}_{2n}=e^{\pi }.$

Sayısal gariplik

$e^{\pi }-\pi =19.99909997918947\dots .$

Bazı değerler

$e^{\frac{\pi }{2}}=i^{-i}\approx 4.81047738096535\dots .$

$e^{-\frac{\pi }{2}}=i^i\approx 0.20787957635076\dots .$

$e^{-\frac{{\pi }^2}{4}}=e^{{(\ln i)}^2}=i^{\ln i}\approx 0,1076929315\dots .$

e^π ile π^e arasındaki ilişki:

${\pi }^e=e^{e\ln \pi }\approx 22,4591577183610454\dots .$

$e\ln \pi \approx 3,111698447198\dots .$

$\pi -e\ln \pi \approx 0,0298942063913\dots .$

$e^{\pi -e\ln \pi }=\frac{e^{\pi }}{{\pi }^e}=1,03034552421621$

$e^{e\ln \pi -\pi }=\frac{{\pi }^e}{e^{\pi }}=0,970548205914423$

$\frac{{\pi }^e}{e^{\pi }}+\frac{e^{\pi }}{{\pi }^e};=2,0008937301306$

Kaynakça

Şablon:Kaynakça 1. ^ Nesterenko, Y (1996). "Modular Functions and Transcendence Problems". Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1 322 (10): 909–914. 2. ^ Connolly, Francis. University of Notre Dame

Dış bağlantılar

• Gelfond's constant at MathWorldŞablon:Webarşiv
• A new complex power tower identity for Gelfond's constant