Hipergeometrik fonksiyon

Özel fonksiyonların önemli bir bölümünü oluşturan hipergeometrik fonksiyonlar matematik, fizik, mühendislik ve olasılıkta karşımıza çıkar.

Hipergeometrik Seri ve Hipergeometrik Fonksiyonlar

$\alpha ,\beta$ ve $\gamma$ reel ya da kompleks sabitler olmak üzere $1+\frac{\alpha \beta }{\gamma }\frac{x}{1!}+\frac{\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}\frac{x^2}{2!}+...$ olarak ifade edilen seriye Gauss hipergeometrik serisi veya hipergeometrik seri denir. Bu ifade $1+x+x^2+...$ geometrik serisinin bir genelleştirilmesi olduğundan bu adı alır.

$\gamma$ değeri sıfır ya da negatif bir tam sayı olmamalıdır. Hipergeometrik serisi $\left|x\right|<1$ için yakınsak, $\left|x\right|>1$ için ıraksaktır. $\left|x\right|=1$ olduğu zaman $\gamma >\alpha +\beta$ ise seri mutlak yakınsaktır. $x=-1$ iken $\gamma >\alpha +\beta -1$ ise seri yakınsaktır.

Hipergeometrik serisi aşağıdaki şekilde yazılabilir. ${}_2{F}_1(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_n(\beta {)}_n}{(\gamma {)}_n}\frac{x^n}{n!}$ dir.

Hipergeometrik fonksiyonu ifade eden ${}_2{F}_1$ gösterimi yerine $F$ Gösterimide kullanılır. Yani $F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x){=}_2{F}_1(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)$ olup, bu fonksiyon Gauss hipergeometrik fonksiyonu veya hipergeometrik fonksiyon olarak bilinir.

Genelleştirilmiş ifadesi

${}_p{F}_q(a_1,\dots ,a_p;b_1,\dots ,b_q;z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1{)}_n\dots (a_p{)}_n}{(b_1{)}_n\dots (b_q{)}_n}\frac{x^n}{n!}$ veya ${}_p{F}_q(a_1,\dots ,a_p;b_1,\dots ,b_q;z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\prod _{i=1}^p\frac{\mathrm{\Gamma }(k+a_i)}{\mathrm{\Gamma }(a_i)}\prod _{j=1}^q\frac{\mathrm{\Gamma }(b_j)}{\mathrm{\Gamma }(k+b_j)}\frac{z^k}{k!};p,q\in {\mathbb{N}}_0,$ şeklindedir.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Hipergeometrik dağılım