Hofstadter noktaları

Düzlem geometrisinde, bir Hofstadter noktası her düzlem üçgen ile ilişkili özel bir noktadır. Aslında bir üçgenle ilişkili birkaç Hofstadter noktası vardır. Bunların hepsi üçgen merkezidir. Bunlardan ikisi, Hofstadter sıfır noktası ve Hofstadter bir noktası, özellikle ilginçtir. Bunlar iki aşkın üçgen merkezidir. Hofstadter sıfır noktası, X(360) olarak gösterilen merkezdir ve Hofstafter bir noktası ise Clark Kimberling'in Encyclopedia of Triangle Centers adlı eserinde X(359) olarak gösterilen merkezdir. Hofstadter sıfır noktası, 1992 yılında Douglas Hofstadter tarafından keşfedilmiştir.

Hofstadter üçgenleri

Şablon:Math verilen bir üçgen ve Şablon:Mvar de pozitif bir reel sabit olsun.

Şablon:Mvar doğru parçasını Şablon:Mvar etrafında Şablon:Mvar açısı ile Şablon:Mvar'ya doğru döndürün ve Şablon:Mvar bu doğru parçasını içeren doğru olsun. Sonra Şablon:Mvar doğru parçasını Şablon:Mvar etrafında Şablon:Mvar açısı ile Şablon:Mvar'ya doğru döndürün ve Şablon:Mvar bu doğru parçasını içeren doğru olsun. Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar doğruları Şablon:Math'de kesişsin. Benzer şekilde Şablon:Math ve Şablon:Math noktaları inşa edilir. Köşeleri Şablon:Math olan üçgen Şablon:Math'nin Hofstadter Şablon:Mvar-üçgenidir (veya Şablon:Mvar-Hofstadter üçgenidir)

Özel durumlar

• Hofstadter 1/3-üçgeni Şablon:Math üçgeninin Şablon:Math ilk Morley üçgenidir. Morley üçgeni her zaman bir eşkenar üçgendir.
• Hofstadter 1/2-üçgeni basitçe üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Hofstadter üçgenlerinin köşelerinin trilineer koordinatları

Hofstadter Şablon:Mvar-üçgeninin köşelerinin trilineer koordinatları aşağıda verilmiştir:

$$\begin{array}{ccccccc}A(r)& =& 1& :& \frac{\sin rB}{\sin (1-r)B}& :& \frac{\sin rC}{\sin (1-r)C}\\ B(r)& =& \frac{\sin rA}{\sin (1-r)A}& :& 1& :& \frac{\sin rC}{\sin (1-r)C}\\ C(r)& =& \frac{\sin rA}{\sin (1-r)A}& :& \frac{\sin (1-r)B}{\sin rB}& :& 1\end{array}$$

Hofstadter noktaları

Şablon:Ortala

Pozitif bir reel sabit Şablon:Math için, Şablon:Math Şablon:Math üçgeninin Hofstadter Şablon:Mvar-üçgeni olsun. O halde Şablon:Math doğruları tek noktada kesişmektedir. Kesişme noktası, Şablon:Math'nin Hofstdter Şablon:Mvar-noktasıdır.

Hofstadter Şablon:Mvar-noktasının trilineer koordinatları

Hofstadter Şablon:Mvar-noktasının trilineer koordinatları aşağıda verilmiştir.

$$\frac{\sin rA}{\sin (A-rA)}:\frac{\sin rB}{\sin (B-rB)}:\frac{\sin rC}{\sin (C-rC)}$$

Hofstadter sıfır ve bir noktaları

Bu noktaların trilineer koordinatları, Hofstadter Şablon:Mvar-noktası için trilineer koordinat ifadelerinde Şablon:Mvar için 0 ve 1 değerlerini yerine koyarak elde edilemez.

Hofstadter sıfır noktası, Şablon:Mvar sıfıra yaklaştıkça Hofstadter Şablon:Mvar-noktasının limitidir; bu nedenle, Hofstadter sıfır noktasının trilineer koordinatları aşağıdaki gibi türetilir:

$$\begin{array}{cccccc}\underset{r\to 0}{\lim }& \frac{\sin rA}{\sin (A-rA)}& :& \frac{\sin rB}{\sin (B-rB)}& :& \frac{\sin rC}{\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 0}{\lim }& \frac{\sin rA}{r\sin (A-rA)}& :& \frac{\sin rB}{r\sin (B-rB)}& :& \frac{\sin rC}{r\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 0}{\lim }& \frac{A\sin rA}{rA\sin (A-rA)}& :& \frac{B\sin rB}{rB\sin (B-rB)}& :& \frac{C\sin rC}{rC\sin (C-rC)}\end{array}$$

Çünkü $\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin rA}{rA}=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin rB}{rB}=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin rC}{rC}=1,$

$$⟹\frac{A}{\sin A}:\frac{B}{\sin B}:\frac{C}{\sin C}=\frac{A}{a}:\frac{B}{b}:\frac{C}{c}$$

Hofstadter bir noktası, Şablon:Mvar bire yaklaştıkça Hofstadter Şablon:Mvar-noktasının limitidir; bu nedenle Hofstadter bir noktasının trilineer koordinatları aşağıdaki gibi türetilir:

$$\begin{array}{cccccc}\underset{r\to 1}{\lim }& \frac{\sin rA}{\sin (A-rA)}& :& \frac{\sin rB}{\sin (B-rB)}& :& \frac{\sin rC}{\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 1}{\lim }& \frac{(1-r)\sin rA}{\sin (A-rA)}& :& \frac{(1-r)\sin rB}{\sin (B-rB)}& :& \frac{(1-r)\sin rC}{\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 1}{\lim }& \frac{(1-r)A\sin rA}{A\sin (A-rA)}& :& \frac{(1-r)B\sin rB}{B\sin (B-rB)}& :& \frac{(1-r)C\sin rC}{C\sin (C-rC)}\end{array}$$

Çünkü $\underset{r\to 1}{\lim }\frac{(1-r)A}{\sin (A-rA)}=\underset{r\to 1}{\lim }\frac{(1-r)B}{\sin (B-rB)}=\underset{r\to 1}{\lim }\frac{(1-r)C}{\sin (C-rC)}=1,$

$$⟹\frac{\sin A}{A}:\frac{\sin B}{B}:\frac{\sin C}{C}=\frac{a}{A}:\frac{b}{B}:\frac{c}{C}$$