Jacobi-Anger açılımı

Jacobi-Anger açılımı veya Jacobi-Anger eşitliği, matematikte trigonometrik fonksiyonların harmonikleri temel alınarak yapılan bir üstel açılımdır. Fizikte (örneğin düzlem dalgalar ve silindirik dalgalar arasında dönüşüm) ve sinyal işlemede (FM sinyallerini tanımlamak için) kullanılır. Eşitlik adını 19. yüzyıl matematikçileri Carl Jacobi ve Carl Theodor Anger'den almıştır.

Açılım

En genel halde eşitlik;^[1]^[2]

e^{i z \cos θ} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} i^{n} J_{n} (z) e^{i n θ}

ve

e^{i z \sin θ} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} J_{n} (z) e^{i n θ},

şeklindedir. burada $J_{n} (z)$ nŞablon:'inci Bessel fonksiyonudur. $J_{- n} (z) = (- 1)^{n} J_{n} (z),$ ilişkisi kullanılarak nŞablon:'inci tam sayı değeri için açılım:^[1]^[2]

e^{i z \cos θ} = J_{0} (z) + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} i^{n} J_{n} (z) \cos (n θ) .

Aşağıdaki reel değerli varyasyonlar da sıkça kullanılır.^[3]

\begin{matrix} \cos (z \cos θ) & = J_{0} (z) + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} J_{2 n} (z) \cos (2 n θ), \\ \sin (z \cos θ) & = - 2 \sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} J_{2 n - 1} (z) \cos [(2 n - 1) θ], \\ \cos (z \sin θ) & = J_{0} (z) + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} J_{2 n} (z) \cos (2 n θ), \\ \sin (z \sin θ) & = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} J_{2 n - 1} (z) \sin [(2 n - 1) θ] . \end{matrix}