Kaçurovskiy teoremi

Matematikte Kaçurovskiy teoremi, bir Banach uzayı üzerindeki fonksiyonun dışbükeyliğini bu fonksiyonun Fréchet türevine ilişkilendiren bir sonuçtur. Bu sonuç, matematikçi R.I. Kaçurovskiy'in adını taşımaktadır.

Teoremin ifâdesi

$V$ bir Banach uzayı, $K$ ise bu uzayın dışbükey bir altkümesi olsun. $f:K\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ genişletilmiş gerçel sayılarda değer alan ve $K$ üzerindeki her $x$ noktasında Fréchet türevi olan bir fonksiyon olsun ve bu türev $df(x)=V\to ℝ$ ile gösterilsin. O zaman, aşağıdaki ifâdeler birbirine denk ifadelerdir.

• $f$ dışbükey bir fonksiyondur.
• $K$deki her $x$ ve $y$ için

$\mathrm{d}f(x)(y-x)\le f(y)-f(x)$

olur.

• $df$ artan bir operatördür; yâni, $K$deki her $x$ ve $y$ için

$(\mathrm{d}f(x)-\mathrm{d}f(y))(x-y)\ge 0$

sağlanır.