Kantoroviç eşitsizliği

Matematikte Kantoroviç eşitsizliği, Leonid Vitalyeviç Kantoroviç'in 1948'deki bilimsel yayınına kadar uzanan ve hem fonksiyonel analiz hem de sayısal analizde görülebilen bir eşitsizliktir. ${ℝ}^{n\times n}$deki kesin pozitif ve bakışımlı (simetrik) matrislere dair bir kestirim sağlamakla beraber Schweitzer eşitsizliğiyle de ilgilidir.

Kantoroviç eşitsizliği, özellikle sayısal analizde, gradyan yöntemiyle bağlantılı yakınsama çalışmalarında önemlidir; bir takım genellemelere ve daha ileri çalışmalara yol açmıştır.

Eşitsizliğin ifadesi

Eşitsizliğin değişik sürümleri mevcuttur:
$x_1<x_2<\cdots <x_n$ pozitif sayılar olsun. ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\ge 0$ ise $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$ özelliğini sağlasın. O zaman, $A=\frac{1}{2}(x_1+x_n)$ ve $G=\sqrt{(}{x}_1{x}_n)$ olmak üzere

$\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_j{x}_j\right)\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_j{x}_j^{-1}\right)\le A^2{G}^{-2}$

olur.

Eşitsizliğin bir genelleştirmesi gerçel kesin pozitif ve bakışımlı (simetrik) matrisler ve hatta Hilbert uzayları için de yazılabilir:
$n$ pozitif bir tamsayı, $Q\in {ℝ}^{n\times n}$ ise en küçük ve en büyük özdeğerleri $m$ ve $M$ pozitif gerçel sayıları olan kesin pozitif ve bakışımlı (simetrik) matris olsun. O zaman, $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ ${ℝ}^n$de sayıl çarpım olmak üzere, her $x\in {ℝ}^n\setminus \{0\}$ için

$1\le \frac{⟨x,Qx⟩\cdot ⟨x,Q^{-1}x⟩}{{⟨x,x⟩}^2}\le 4\frac{(M+m{)}^2}{M\cdot m}$

olur.