Kotanjant teoremi

Şablon:Ortala

Şablon:Ortala

Trigonometride, kotanjant teoremi veya kotanjantlar yasası, bir üçgenin kenar uzunlukları ile üç iç açısının yarılarının kotanjantları arasındaki ilişkidir.

Eşitliği sinüs yasası ile ifade edilen üç niceliğin, üçgenin çevrel çemberinin çapına (veya yasanın nasıl ifade edildiğine bağlı olarak bunun tersine) eşit olması gibi, kotanjantlar yasası da bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını (iç teğet çemberin yarıçapı) kenarları ve açılarıyla ilişkilendirir.

İfade

Bir üçgen için olağan gösterimleri kullanarak (sağ üstteki şekle bakın), burada Şablon:Mvar üç kenarın uzunlukları, Şablon:Mvar bu üç ilgili kenarın karşısındaki köşeler, Şablon:Mvar bu köşelerdeki karşılık gelen açılar, Şablon:Mvar yarıçap, yani Şablon:Math ve Şablon:Mvar çizilen dairenin yarıçapıdır, kotanjant yasası şunu belirtir:

$$\frac{\cot \frac{1}{2}\alpha }{s-a}=\frac{\cot \frac{1}{2}\beta }{s-b}=\frac{\cot \frac{1}{2}\gamma }{s-c}=\frac{1}{r},$$

ve ayrıca iç teğet çemberin yarıçapı şu şekilde verilir:

$$r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$$

Kanıt

Kotanjant yasasının kanıtı

Üstteki şekilde, çemberin üçgenin kenarlarına teğet noktaları çevreyi 3 çift halinde 6 parçaya bölmektedir. Her çiftte doğru parçaları eşit uzunluktadır. Örneğin, Şablon:Mvar tepe noktasına bitişik 2 parça eşittir. Her çiftten bir parça seçersek, bunların toplamı yarıçap olacaktır. Şablon:Mvar. Bunun bir örneği şekilde renkli olarak gösterilen parçalardır. Şablon:Renk çizgiyi oluşturan iki parçanın toplamı Şablon:Mvar'dır, bu nedenle Şablon:Renk parça Şablon:Math uzunluğunda olmalıdır. Açıktır ki, diğer beş parçanın uzunlukları da alttaki şekilde gösterildiği gibi, Şablon:Math, Şablon:Math veya Şablon:Math'dir.

Şekli inceleyerek ve kotanjant fonksiyonunun tanımını kullanarak, şu sonuca varırız:

$$\cot \frac{\alpha }{2}=\frac{s-a}{r}$$

ve diğer iki açı için de benzer şekilde, ilk önermeyi kanıtlayarak.

İkincisi için —iç teğet çember formülü— genel toplam formülünden başlarız:

$$\cot (u+v+w)=\frac{\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}.$$

$\cot (\frac{1}{2}\alpha +\frac{1}{2}\beta +\frac{1}{2}\gamma )=\cot \frac{\pi }{2}=0,$'e uygulayarak şunu elde ederiz:

$$\cot \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}=\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}.$$

(Bu, aynı zamanda üçlü kotanjant özdeşliğidir).

İlk bölümde elde edilen değerleri yerine koyduğumuzda şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{cc}\frac{(s-a)}{r}\frac{(s-b)}{r}\frac{(s-c)}{r}& =\frac{s-a}{r}+\frac{s-b}{r}+\frac{s-c}{r}\\ & =\frac{3s-2s}{r}\\ & =\frac{s}{r}\end{array}$$

Şablon:Math ile çarpıldığında Şablon:Math değeri elde edilir ve ikinci önerme kanıtlanmış olur.

Kotanjantlar yasasını kullanan bazı kanıtlar

Kotanjantlar yasasından bir dizi başka sonuç türetilebilir.

• Heron formülü. Şablon:Math üçgeninin alanının da 3 çift halinde 6 küçük üçgene bölündüğünü ve her çiftteki üçgenlerin aynı alana sahip olduğunu unutmayın. Örneğin, Şablon:Mvar tepe noktasının yakınındaki iki üçgen, tabanı Şablon:Math ve yükseklik Şablon:Math olan dik üçgenlerdir, her birinin alanı Şablon:Math'dır. Dolayısıyla, bu iki üçgen birlikte Şablon:Math alanına sahiptir ve bu nedenle tüm üçgenin Şablon:Mvar alanı;

$$\begin{array}{cc}S& =r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\ & =r(3s-(a+b+c))\\ & =r(3s-2s)\\ & =rs\end{array}$$

Bu, gerektiği gibi aşağıdaki sonucu verir: $$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

• Mollweide'ın ilk formülü. Toplam formülünden ve kotanjantlar yasasından şunu elde ederiz:

$$\frac{\sin \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}{\sin \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}=\frac{\cot \frac{1}{2}\beta -\cot \frac{1}{2}\alpha }{\cot \frac{1}{2}\beta +\cot \frac{1}{2}\alpha }=\frac{a-b}{2s-a-b}.$$

Bu, gerektiği gibi aşağıdaki sonucu verir: $$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}{\cos \frac{1}{2}\gamma }$$

• Mollweide'in ikinci formülü. Toplam formülünden ve kotanjantlar yasasından şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{cc}\frac{\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}{\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )}& =\frac{\cot \frac{1}{2}\alpha \cot \frac{1}{2}\beta +1}{\cot \frac{1}{2}\alpha \cot \frac{1}{2}\beta -1}\\ & =\frac{\cot \frac{1}{2}\alpha +\cot \frac{1}{2}\beta +2\cot \frac{1}{2}\gamma }{\cot \frac{1}{2}\alpha +\cot \frac{1}{2}\beta }\\ & =\frac{4s-a-b-2c}{2s-a-b}.\end{array}$$

Burada, toplam/çarpım formülüne göre bir çarpımı toplama dönüştürmek için ekstra bir adım gereklidir. Şablon:Pb Bu da gerektirdiği gibi şu sonucu verir: $$\frac{b+a}{c}=\frac{\cos \frac{1}{2}(\alpha -\beta )}{\sin \frac{1}{2}\gamma }$$

• Tanjant teoremi de bundan türetilebilir. (Şablon:Harv)

"Kotanjant yasası" olarak adlandırılan diğer özdeşlikler

Kotanjantlar yasası, sinüsler yasası, kosinüsler yasası veya tanjantlar yasası kadar yaygın veya iyi kurulmuş değildir, bu nedenle aynı isim bazen kotanjantları içeren diğer üçgen özdeşliklerine de uygulanır. Örneğin:

İki açının kotanjantlarının toplamı, aralarındaki kenarın üçüncü tepe noktasından geçen yükseklik oranına eşittir:

$\cot \alpha +\cot \beta =\frac{c}{h_c}.$

Kosinüs yasası, kosinüs yerine kotanjant cinsinden ifade edilebilir, bu da üçgenin alanını $S$ özdeşliğine dönüştürür:

$c^2=a^2+b^2-4S\cot \gamma .$

Bir üçgenin üç açısının toplamı $\pi$ olduğundan, bu açıların kotanjantlarının ikili çarpımlarının toplamı birdir:

$\cot \alpha \cot \beta +\cot \alpha \cot \gamma +\cot \beta \cot \gamma =1.$

Ayrıca bakınız

• Sinüs kanunu
• Kosinüs kanunu
• Tanjant kanunu
• Mollweide formülü
• Heron formülü

Konuyla ilgili okumalar

• Şablon:Kitap kaynağı