Lambert W fonksiyonu

Matematikte, Lambert W fonksiyonu, aynı zamanda Omega fonksiyonu veya çarpım logaritması olarak da bilinen bir fonksiyon kümesidir.

f(w) = we^w fonksiyonunda e^w üstel fonksiyon ve w herhangi bir karmaşık sayı olmak üzere, bu fonksiyonun tersinin şubelerini ifade eder.

$z=W(z)e^{W(z)}$

$Y=A{e}^A⟺A=W(Y)$

$z(1+W)\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}=W\text{for }z\ne -1/e.$

$\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}=\frac{W(z)}{z(1+W(z))}\text{for }z\in ̸\{0,-1/e\}.$

${\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}z}|}_{z=0}=1.$

W(x) Fonksiyonun integrali şu şekildedir.

$\int W(a)\mathrm{d}a=a(W(a)-1+\frac{1}{W(a)})+C.$

Lambert W Fonksiyonun Serisi:

$W(a)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{a}^n=a-a^2+\frac{3}{2}{a}^3-\frac{8}{3}{a}^4+\frac{125}{24}{a}^5-\cdots$ .

Doğal logaritma tabanı e w türünden özelliği: $e^{W(a)}=\left(\frac{a}{W(a)}\right)$ İntegrali ise:

$\int e^{W(a)}\mathrm{d}a=a^2(1+2W(a))\frac{1}{4W(a{)}^2}+C.$

Lambert W Fonksiyonun yaklaşık değeri:

$W_0(x)\approx \ln (x)-\ln (\ln (x))+\ln (\ln (x))/\ln (x)$

Lamber W Fonksiyonun sürekli kesri:

$x{e}^x=y\Rightarrow e^x=\frac{y}{x}\Rightarrow x=ln(\frac{y}{x})$ şimdi bu denklemde sol taraftaki x i sağ taraftaki x in yerine sonsuza kadar yazılırsa sürekli kesir meydana gelir.

$x=ln\frac{y}{ln\frac{y}{ln\frac{y}{ln{y}_{\ddots }}}}$ o zaman $x{e}^x=y\Rightarrow x=W(y)$ şimdi yerine yazılırsa sonuç: $W(y)=ln\frac{y}{ln\frac{y}{ln\frac{y}{ln{y}_{\ddots }}}}$

Bazı Değerler

$W(-\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}\mathrm{i}$

$W(-\frac{\ln a}{a})=-\ln a(\frac{1}{e}\le a\le e)$

$W_{-1}(-\frac{\ln a}{a})=-\ln a(a⩾e)$

$W_0\left(A\ln A\right)=\ln A(A⩾\frac{1}{e})$

$W(-\frac{1}{e})=-1$

$W\left(0\right)=0$

$W\left(1\right)=\mathrm{\Omega }=\frac{1}{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{(e^x-x{)}^2+{\pi }^2}}-1\approx 0.56714329\dots$ (Omega Sabiti)

$W\left(e\right)=1$

$W(-1)\approx -0.31813-1.33723\mathrm{i}$

$W^{\prime }\left(0\right)=1$

$W\left(2\right)=0.852605502013725...$

Lambert W Fonksiyonuyla ilgili örnekler:

Örnek : 1

$f(x)exp(f(x))=y\Rightarrow f(x)=W(y)$ yola çıkarak $x.e^x=2\Rightarrow x=W(2)$

Örnek : 2

$(m+8).exp(m+8)=ln5\Rightarrow m+8=W(ln5)\Rightarrow m=W(ln5)-8$

(Burada $exp(a)=e^a$ demektir.)

Örnek : 3

$x^x=6\Rightarrow xlnx=ln6$ burada hayal gücünü kullanarak her iki tarafın doğal logaritması alındı x=e^lnx şeklinde olursa ki bu örnek : 1 deki formüle benzetmek için. Kesinlikle ezberletme yok sadece örnek 1 deki formüle benzetmek yeterli.

$[lnx]exp(lnx)=ln6\Rightarrow ln(x)=W(ln6)\Rightarrow x=exp(W(ln6))$ (Burada lnx=f(x) e ve y=ln6 oldu.)

Örnek : 4

$3^x=8x$ denkleminin çözümü için her iki tarafın doğal logaritması alınırsa $xln3=ln(8x)\Rightarrow ln3=\frac{1}{x}ln(8x)\Rightarrow \frac{ln3}{8}=\frac{1}{8x}ln(8x)$ yandaki denklem 1/(8x) ile çarpıldı . Her iki tarafın -1 ile çarpılırsa $-\frac{ln3}{8}=\frac{1}{8x}ln(\frac{1}{8x})\Rightarrow \frac{1}{8x}=exp(ln\frac{1}{8x})$ lambert W Fonksiyonuna uygun bir denklem elde edildi bu denklem ${\displaystyle }$$-\frac{ln3}{8}=\frac{1}{8x}exp(ln\frac{1}{8x})ln(\frac{1}{8x})\Rightarrow ln[\frac{1}{8x}]=W(-\frac{ln3}{8})$ (Burada f(x)=ln(1/(8x)) ve y=-(ln3)/8 oldu formül uygulandı.) Son denklemde x çekilirse ^{$\frac{1}{8x}=exp[W(-\frac{ln3}{8})]\Rightarrow x=\frac{1}{8.exp[W(-\frac{ln3}{8})]}$} olur.

Sonuç olarak: $3^x=8x$ $\Rightarrow x=x=\frac{1}{8.exp[W(-\frac{ln3}{8})]}$ Bu değer $W_0(y)$ ye göredir $W_{-}1(y)$ değeride vardır.

ÖNEMLİ NOKTA

Yukarıdaki W(f(x)) fonksiyonların hepsi $ProductLog(0,f(x))$ göredir. Geneli $ProductLog(a,b)=W_a(b)$ demektir.

$i=\sqrt{-1}$ olmak üzere

Örnek olarak $W_n(10)$ fonksiyonu hesap makinesiyle n=0 için $W_0(10)=W(10)=1,7455...$

n=1 için $W_1(10)=0,7113...+i4,8577...$

n=2 için $W_2(10)=-0,0941...+i10,9870...$

n=3 için $W_3(10)=-0,5455...+i17,2471...$

.

.

.

Örnekte görüldüğü gibi lambert W Fonksiyonun sadece bir çözümü yoktur. Çözüm kümesi birden çok olabilir.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça

• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Şablon:Dergi kaynağı
• Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A: "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2", IEEE Trans. Signal Processing, 50(9), 2002
• Francis et al. "Quantitative General Theory for Periodic Breathing" Circulation 102 (18): 2214. (2000). Şablon:Webarşiv Use of Lambert function to solve delay-differential dynamics in human disease.
• Şablon:Dlmf
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010).Şablon:Webarşiv C++ implementation using Halley's and Fritsch's iteration.
• National Institute of Science and Technology Digital Library - Lambert W Şablon:Webarşiv
• MathWorld - Lambert W-Function Şablon:Webarşiv
• Computing the Lambert W function
• Corless et al. Notes about Lambert W research Şablon:Webarşiv
• Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
• GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.