Littlewood 4/3 eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Littlewood eşitsizliği ya da Littlewood 4/3 eşitsizliği, sıfıra yakınsayan sayıl (skaler) dizilerin Banach uzayı olan $c_0$ üzerinde tanımlı ve karmaşık değerli çifte doğrusal biçimler için geçerli olan bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, matematikçi John Edensor Littlewood'un adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Sıfıra yakınsayan sayıl dizilerin Banach uzayı olan $c_0$ üzerinde tanımlı bir $B:c_0\times c_0\to ℂ(\text{veya }ℝ)$ çifte doğrusal biçimi için

• $\Vert B\Vert :=\sup \{|B(x_1,x_2)|:\Vert x_i{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 1\}$
• $\{e_i|i=1,2,\cdots \}$, $c_0$'daki Schauder tabanı

olmak üzere

${(\sum _{i,j=1}^{\mathrm{\infty }}|B(e_i,e_j){|}^{4/3})}^{3/4}\le \sqrt{2}\Vert B\Vert$

eşitsizliği sağlanır. Üstelde yer alan 4/3 optimaldir; diğer deyişle, üsteli 4/3'ten küçük alınmasıyla eşitsizlik korunmaz. Ayrıca, gerçel sayıl durumunda ise eşitsizlikteki $\sqrt{2}$ en iyi kestirim sabitidir.

Bohnenblust-Hille eşitsizliği

Littlewood 4/3 eşitsizliğinin bir genelleştirmesi Amerikalı matematikçi Carl Einar Hille ve İsviçreli ve Amerikalı matematikçi Henri Frederic Bohnenblust tarafından kanıtlanan Bohnenblust–Hille eşitsizliği tarafından verilmektedir. Eşitsizliğin genelleştirilmiş halinde, Littlewood 4/3 eşitsizliğindeki çifte doğrusal biçim yerini çoklu doğrusal biçimlere bırakmaktadır. Daha matematiksel bir ifadeyle, her $m$-doğrusal $M:c_0\times \cdots \times c_0\to ℂ$ gönderimi için

${(\sum _{i_1,\dots ,i_m=1}^{\mathrm{\infty }}|M(e_{i_1},\dots ,e_{i_m}){|}^{2m/(m+1)})}^{(m+1)/(2m)}\le 2^{(m-1)/2}\Vert M\Vert$

eşitsizliği sağlanır.

Ayrıca bakınız

• Grothendieck eşitsizliği