Moment çıkaran fonksiyon

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında, bir rassal değişken X için, eğer beklenen değer var ise, moment çıkaran fonksiyon şöyle tanımlanır:

$M_X(t)=E\left(e^{tX}\right),t\in ℝ,$

Moment çıkaran fonksiyon bir olasılık dağılımı için momentler üretmek için ortaya atılmıştır.

Gerçel bileşenli vektör değerli rassal değişkenler X için moment çıkaran fonksiyon şöyle ifade edilir:

$M_X(𝐭)=E\left(e^{⟨𝐭,𝐗⟩}\right)$

Burada t bir vektördür ve $⟨𝐭,𝐗⟩$ nokta çarpan olur.

Şayet t = 0 aralığı etrafında bir momentin bulunduğu bilinirse, şu ifade ninci momenti gösterir:

$E\left(X^n\right)=M_X^{(n)}(0)={\frac{{\mathrm{d}}^n{M}_X(t)}{\mathrm{d}{t}^n}|}_{t=0}.$

Eğer X için bir sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu, yani f(x) var ise, moment çıkaran fonksiyon şöyle tanımlanır:

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}f(x)\mathrm{d}x$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1+tx+\frac{t^2{x}^2}{2!}+\cdots )f(x)\mathrm{d}x$

$=1+t{m}_1+\frac{t^2{m}_2}{2!}+\cdots ,$

Burada $m_i$ iinci matematiksel moment olur. $M_X(-t)$ f(x) fonksiyonunun bir iki taraflı Laplace dönüşümüdür.

Olasılık fonksiyonunun sürekli olup olmadığına bakılmaksızın, moment çıkaran fonksiyon şu Rimemann-Stieltjes intergali ile verilebilir:

$M_X(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{tx}dF(x)$

Burada F yığmalı dağılım fonksiyonudur.

Eğer X₁, X₂, ..., X_n bir seri bağımsız (ama mutlaka aynı şekilde dağılma göstermeyen) rassal değişkenlerse ve a_i verilmiş sabitler olup

$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{X}_i,$

ise, o halde S_n için olasılık yoğunluk fonksiyonu, her bir X_i için olasılık yoğunluk fonksiyonlarının konvülasyonu olur ve ayni koşullar için S_nnin moment çıkaran fonksiyonu şöyle verilir:

$M_{S_n}(t)=M_{X_1}(a_{1}t)M_{X_2}(a_{2}t)\cdots M_{X_n}(a_{n}t).$

Olasılık kuramında her dağılım için genel ve tüm kapsamlı bulunan moment çıkaran fonksiyonlara benzer olarak daha birkaç tane donüşüm bulunmaktadır: Bunlar arasında karakteristik fonksiyon ve olasılık çıkaran fonksiyon en önemlileridir. Kümülant çıkaran fonksiyon ise moment çıkaran fonksiyonun logaritma dönüşümünden oluşur.

Ayrıca bakınız

• Momentler
• Kümülant
• Karakteristik fonksiyon
• Faktöriyel moment çıkaran fonksiyon