Multinom dağılımı

Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, multinom dağılımı binom dağılımının genelleştirilmesidir.

Binom dağılım n sayıda her biri istatistiksel olarak bağımsız olan 'Bernoulli denemeleri içinde her bir deneme için başarı olasılığı bilinip ve aynı olursa elde edilebilen başarılı sonuç sayısının olasılık dağılımıdır.

Bir multinom dağılımında her deneme sonlu bir sabit olan k sayıda mümkün sonuçtan sadece tek birinin gerçekleşmesi ile son bulur. Bu k sayıda mümkün sonucun her biri için sabit olasılıklar, yani

p₁, ..., p_k

bulunmaktadır; bunlar için

p_i ≥ 0 eğer i = 1, ..., k

ve $\sum _{i=1}^k{p}_i=1$ n sayıda bağımsız deneme yapılır.

O zaman rassal değişkenler olan $X_i$ n deneme yapılırsa i sayılı sonucun gözümlenmesi sayısını ifade eder. $X=(X_1,\dots ,X_k)$ ifadesi ise n ve vektör p parametreleri olan bir multinom dağılımı gösterir. Vektör p=(p₁, ..., p_k) olarak da yazılabilir.

Tanımlama

Olasılık kütle fonksiyonu

Multinom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu şudur:

$\begin{array}{cc}f(x_1,\dots ,x_k;n,p_1,\dots ,p_k)& =\mathrm{Pr}(X_1=x_1\text{ ve }\dots \text{ ve }{X}_k=x_k)\\ \\ & =\{\begin{array}{cc}\frac{n!}{x_1!\cdots x_k!}{p}_1^{x_1}\cdots p_k^{x_k},& \text{eğer }\sum _{i=1}^k{x}_i=n\\ \\ 0& \text{diğer hallerde,}\end{array}\end{array}$

burada x₁, ..., x_k negatif olmayan tam sayılardır.

Özellikleri

Beklenen değer şudur:

$\mathrm{E}(X_i)=n{p}_i.$

Kovaryans matrisi şöyle gösterilir:

Bu matrisin orta çarprazında bulunan elemanlar bir binom dağılımlı rassal değişken için varyansdırlar:

$\mathrm{var}(X_i)=n{p}_i(1-p_i).$

Orta çapraz dışındaki elemenlar kovaryans değerleridir:

$\mathrm{cov}(X_i,X_j)=-n{p}_i{p}_j$

Burada i, j birinden her zaman farklıdır.

Bütün kovaryans değerleri negatif işaretlidir; çünkü sabit bir N değeri için, bir multinom vektörünün bir parçasında olan artış, diğer bir parçasında bir düşüş olmasını gerektirir.

Bu kovaryans matrisi kertesi k - 1 olan bir k × k büyüklüğünde bir matristir.

Bununla ilişkili olan bir diğer matrik corelasyon matrisidir. Korelasyon matrisinin ana çapraz dışı elemanları şöyle bulunurlar:

$\rho (X_i,X_j)=-\sqrt{\frac{p_i{p}_j}{(1-p_i)(1-p_j)}}.$

ve ana çapraz elemanlarının 1 olduğu aşikardır. Dikkat edilirse bu matris elemanlarının hesaplanmasında örneklem büyüklüğü hiç rol oynamaz. Bu matrisin her bir k parçası uygun bir i indeksi için ayrı ayrı olarak n ve p_i parametreleri olan bir binom dağılımı gösterir.

Bir multinom dağılımı için destek

$\{(n_1,\dots ,n_k)\in {\mathbb{N}}^k|n_1+\cdots +n_k=n\}.$

değerinde sağlanır ve bunun eleman sayısı

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})=⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩,$

olur. Bu k tipte olan bir multiset n-kombinasyonudur.

İlişkili dağılımlar

• Eğer k = 2 ise multinom dağılımı bir binom dağılımı ile aynıdır
• Dirichlet dağılımı Bayes tipi istatistikte multinom dağılımının eşlenik önselidir.
• Çokdeğişirli Polya dağılımı

Ayrıca bakınız

• Multinom teoremi

Dış bağlantılar

• Ayrık olasılık dagılımı - Multinom Dağılımı

Bibliyografya

• Merran Evans, Nicholas Hastings ve Brian Peacock (2000) Statistical Distribution 3ncu ed. Wiley: New York say.134-13 isbn = 0-471-37124-6