Oran testi

Jean le Rond d'Alembert

Matematikte oran testi, terimleri gerçel ya da karmaşık sayı olan bir

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test ilk defa Jean le Rond d'Alembert tarafından yayınlanmıştır ve bazen d'Alembert's oran testi olarak da bilinir. Oran testi, "lim"in n sonsuza giderken limiti temsil ettiği

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

sayısını kullanmaktadır.

Oran testi şunu ifade etmektedir:

• L < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
• L > 1 ise, seri ıraksaktır.

Eğer L = 1 ise veya limit var değilse, o zaman test sonuçsuz kalır, yani bu test kullanılamaz. Bu iki durumu da sağlayan yakınsak ve ıraksak seriler vardır.

Örnekler

Yakınsayan

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n}{e^n}$

serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{n+1}{e^{n+1}}\cdot \frac{e^n}{n}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{n+1}{n}\cdot \frac{e^n}{e^n\cdot e}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\right(1+\frac{1}{n})\cdot \frac{1}{e}|=1\cdot \frac{1}{e}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|$

= $\frac{1}{e}<1$

Bu yüzden, $\frac{1}{e}$, 1'den küçük olduğu için seri yakınsaktır.

Iraksayan

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^n}{n}$

serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot \frac{n}{e^n}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }|\frac{n}{n+1}\cdot \frac{e^n\cdot e}{e^n}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\right(1-\frac{1}{n+1})\cdot e|=1\cdot e$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|$

= $e>1$

Bu yüzden, $e$, 1'den büyük olduğu için seri ıraksaktır.

Sonuçsuz

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

ise, serinin oran testinden yakınsak veya ıraksak olduğunu çıkarmak imkânsızdır. Mesela,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}1$

serisi ıraksar ama limit 1'dir; yani

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{1}{1}\right|=1$

Diğer taraftan,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$

serisi mutlak yakınsaktır; ancak yine

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{1}{(n+1{)}^2}}{\frac{1}{n^2}}\right|=1$

Sonuç olarak,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1}{n}$

şartlı yakınsaktır ama

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{\frac{(-1{)}^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1{)}^n}{n}}\right|=1$

L=1 ve Raabe testi

Önceki örnekte de görüldüğü gibi oran testinde limit 1 olduğu zaman test sonuçsuzdur. Oran testinin Raabe'ye ait olan bir uzantısı bazen bu durumla başa çıkmayı sağlayabilir. Raabe testi ise şunu ifade eder:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$

ise ve

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }n(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1)=-1-c$

ifadesini sağlayan pozitif bir c varsa, o zaman seri mutlak yakınsaktır.

Ayrıca bakınız

• Kök testi
• Yakınsaklık yarıçapı

Kaynakça

• Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, 4. baskı, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3