Potansiyel kuyusu

Şablon:Kaynaksız Potansiyel kuyusu, bir parçacığın bağlı olması durumunu modelleyen sistemdir. Tek boyutta uygulanan potansiyel,

$V(x)=\{\begin{array}{cc}0,& 0<x<a\\ \mathrm{\infty },& \text{diger }\end{array}$

şeklinde verilir. Burada parçacık görüldüğü üzere a genişlikli sonsuz kuyunun içine hapsolmuştur. Parçacık için Schrödinger denklemi yazılırsa:

$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}=-\frac{2mE}{{\hslash }^2}\psi$

$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+k^2\psi =0\text{ , (I)}$

$k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}\text{ , (II)}$

$\text{(I)}$ denklemin çözümü ise ${\psi }_{\text{ic}}(x)=A\sin (kx)+B\cos (kx)$ olarak elde edilir. Bu, parçacığı kuyu içinde temsil eden dalga fonksiyonudur. Uygulanan potansiyel sonsuz olduğu için parçacığın dışarıda bulunması olasılığı sıfır olacağından, dışarıdaki dalga fonksiyonu ${\psi }_{\text{dis}}(x)=0$ olur. Sınırlarda iki dalga fonksiyonunun değerlerinin alacağı değerler birbirine eşit olmak zorunda olduğundan sınır koşulları ortaya çıkar.

• ${\psi }_{\text{ic}}(0)={\psi }_{\text{dis}}(0)=0$

$A\sin 0+B\cos 0=0\text{ , }B=0$

${\psi }_{\text{ic}}(x)=A\sin (kx)$

• ${\psi }_{\text{ic}}(a)={\psi }_{\text{dis}}(a)=0$

$A\sin (ka)=0$

$A\ne 0\text{ , }$$\sin (ka)=0$

$ka=n\pi \text{ , }k=\frac{n\pi }{a}$

$\text{(II)}$ denklemi ile karşılaştırılırsa

$\frac{2mE}{{\hslash }^2}=k^2=\frac{n^2{\pi }^2}{a^2}$

$E_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}\text{ , }n=1,2,3...$

elde edilir. Böylece bağlı durumdaki parçacıkların enerjilerinin kuantalandığı gösterilmiş olur zira parçacığın enerji seviyeleri $E_0=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ olmak üzere bu enerjinin tam katlarıdır. $E_n=n^2{E}_0\text{ , }n=1,2,3...$

Diğer bir deyişle kuyudaki parçacığın enerjisi iki enerji seviyesi arasındaki enerjiyi alamaz. Bu yüzden enerjide süreksizlik vardır, bu duruma enerjinin kuantalanması denir.