QFT notasyon

Uzayzamanda 2 nokta düşünelim $(x,y,z,t)$ ve $(x+dx,y+dy,z+dz,t+dt)$

3-boyutlu uzaydaki uzaklık kavramını genişleterek $ds$ simgesiyle göstereceğimiz uzayzaman aralığı kavramına ulaşırız.

$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2)$

bu yazılışa göre uzayzaman aralığı 3 ayrı kategoride düşünelibilir

• $d{s}^2>0$ (zamanımsı aralık)
• $d{s}^2<0$ (uzayımsı aralık)
• $d{s}^2=0$ (ışık aralığı)

3-boyutlu uzaydaki uzaklık $d{r}^2=(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2)$ dönüşlerden etkilenmez çünkü pozitif reel sayıldır (vektör değildir).

Özel görelilik kuramı 4-boyutlu Minkowski uzayzamanı içindeki değişmezlik'leri (invariant) ya da bakışım'ları (symmetry) inceler. Bu kuramda yandeğişken yöney (covariant vector) ve karşıdeğişken yöney (contravariant vector) kavramları vardır.

• karşıdeğişken yöney: $x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)$
• yandeğişken yöney: $x_{\mu }=(x_0,x_1,x_2,x_3)=(ct,-x,-y,-z)$

aralıklarını yazarsak

• $d{x}^{\mu }=(d{x}^0,d{x}^1,d{x}^2,d{x}^3)=(d(ct),dx,dy,dz)$
• $d{x}_{\mu }=(d{x}_0,d{x}_1,d{x}_2,d{x}_3)=(d(ct),-dx,-dy,-dz)$

Notasyon kuralına göre $ds$ uzayzaman aralığı yandeğişken yöney ve karşıdeğişken yöney aralıklarının iççarpım'ından elde edilir.

$d{s}^2=d{x}^{\mu }d{x}_{\mu }=c^{2}d{t}^2-(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2)$

Burada Einstein toplam uzlaşımı notasyonu kullanılır, yani $d{s}^2=d{x}^{\mu }d{x}_{\mu }$ simgesinde tekrar eden endeks $\mu$ yöney elemanlarının "iççarpım" işlemi sırasında her endeks için elde edilen çarpımın toplandığını simgesel olarak gösterir.

Notasyonun amacı kuramsal açıklamaları en kısa simgesel yazım ile anlatmaktır. Bir başka amacıda $d{x}^{\mu }d{x}_{\mu }$ simgesini form olarak $d{r}^2$ simgesine benzer kılmaktır.

Metrik Tensör

yandeğişken aralık ve karşıdeğişken aralık şu şekilde birbirine dönüşür:

• $d{x}_{\mu }=g_{\mu \nu }d{x}^{\mu }$
• $d{x}^{\mu }=g^{\mu \nu }d{x}_{\mu }$

Dönüşümü sağlayan dizeye metrik tensör denir ve Minkowski uzayında metrik tensör $g_{\mu \nu }$ ve karşıtı $g^{\mu \nu }$ birbirine eşittir.

$g_{\mu \nu }=g^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$

Diğer Tanımlar

• ${\partial }_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}=({\partial }_0,{\partial }_1,{\partial }_2,{\partial }_3)=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{}^{,}\frac{\partial }{\partial x}{}^{,}\frac{\partial }{\partial y}{}^{,}\frac{\partial }{\partial z}\right)$

• ${\partial }^{\mu }=g^{\mu \nu }{\partial }_{\nu }$

• ${\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})$

${\partial }^{\mu }{\partial }_{\mu }$ d'Alembertian operatörü olarak bilinir ve bir Lorentz değişmezi'dir.