Rotasyonel

Şablon:Kaynaksız $\overrightarrow{F}(x,y,z)$ ile gösterilen bir vektör alanının rotasyoneli, nabla operatörü ($\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$) ile $\overrightarrow{F}$'nin vektörel çarpımına eşittir.

$\mathrm{rot}\overrightarrow{F}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}=\det \left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_x& F_y& F_z\end{array}\right|=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})\hat{i}-(\frac{\partial F_z}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial z})\hat{j}+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})\hat{k}$

Tensör gösterimi (${ϵ}_{ijk}$, Levi-Civita tensörü olmak üzere):

$\mathrm{\nabla }\times F={ϵ}_{ijk}{\partial }_j{F}_k{e}_i=e_i{ϵ}_{ijk}{F}_{k,j}$

$\varphi$ skaler bir alan, $\overrightarrow{F}$ ve $\overrightarrow{G}$ de vektörel birer alan olmak üzere, rotasyonel alma işleminin özellikleri şöyle sıralanabilir:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (\overrightarrow{F}+\overrightarrow{G})=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}+\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{G}$
$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times (\varphi \overrightarrow{F})=(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\varphi )\times \overrightarrow{F}+\varphi (\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F})$
$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\varphi )=0$
$\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})=0$
$$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \varphi )=-{\mathrm{\nabla }}^2\varphi +\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\cdot \varphi )$$