Shapiro eşitsizliği

Matematikte Shapiro eşitsizliği pozitif sayı dizileri üzerinde geçerli bir eşitsizliktir. Adını, bu eşitsizliği genel halde 1954de öne süren Harold Shapiro'dan almıştır.

Eşitsizliğin ifadesi

n bir doğal sayı ve Şablon:Math gerçel sayıları pozitif olsun.

• n çiftse ve $n\le 12$ ise veya
• n tekse ve $n\le 23$ ise,

o zaman, Şablon:Math ve Şablon:Math olmak üzere

$\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}\ge \frac{n}{2}$

olur. Bu eşitsizliğe Shapiro eşitsizliği denir.

$n$'nin daha büyük değerleri için eşitsizlik geçerli değildir ve bu durumlarda kesin alt sınır Şablon:Math sayısıdır ki burada Şablon:Math Şablon:OEIS olarak bilinmektedir.

$n=12$ ve $n=23$ için eşitsizliğin ilk kanıtları sayısal hesaplamalara dayanmaktadır. 2002'de, PJ Bushell ve JB McLeod $n=12$ için analitik bir kanıt yayınladı.

Şablon:Math değeri 1971 yılında Vladimir Drinfeld tarafından belirlendi. Özellikle, Şablon:Math'nın kesin alt sınırının Şablon:Math ile verildiğini kanıtladı; burada, Şablon:Mvar fonksiyonu Şablon:Math ve Şablon:Math fonksiyonlarının dışbükey zarfıdır. Diğer deyişle, Şablon:Mvarnin grafiğinin üstündeki bölge Şablon:Mvar ve Şablon:Mvar'nin grafiklerinin üstündeki bölgelerin birleşiminin dışbükey zarfıdır.

Sol tarafın iç yerel minimumları her zaman Şablon:Mathden büyük veya eşittir.

Karşıt örnekler

İlk karşıt örnek Lighthill tarafından 1956 yılında Şablon:Math için verildi: $ϵ$ 0'a yakın olmak üzere

$x_{20}=(1+5ϵ,6ϵ,1+4ϵ,5ϵ,1+3ϵ,4ϵ,1+2ϵ,3ϵ,1+ϵ,2ϵ,1+2ϵ,ϵ,1+3ϵ,2ϵ,1+4ϵ,3ϵ,1+5ϵ,4ϵ,1+6ϵ,5ϵ)$.

O zaman, sol taraf $10-{ϵ}^2+O({ϵ}^3)$ ifadesine eşit olur ki $ϵ$ yeteri kadar küöük olduğunda, sol taraf 10dan küçük olur.

Şablon:Math için ise Troesch tarafından karşıt bir örnek verilmiştir: $ϵ$ 0'a yakın olmak üzere

$x_{14}=(ϵ,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,ϵ,40).$

Dış bağlantılar

• 1999daki Usenet tartışması (Dave Rusin'in notları)
• planetmath.org'da Shapiro Inequality