Standart normal dağılım

Normal dağılım kullanılarak bazı olasılık değerlerini hesaplamak zor ve zahmetli olabilir. Bu nedenle, normal dağılımın ortalaması sıfıra ve varyansı bire eşitlenerek işlemler daha kolay hale getirilir. Bu yönteme standart normal dağılım adı verilir.

$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

şeklinde gösterilen normal dağılımda, X değişkeninden ortalamayı çıkarıp standart sapmaya bölerek standartlaştırma yapılır. Bu işlem şu şekilde gösterilir:

$\frac{X-\mu }{\sigma }=Z\sim N(0,1)$

Örneğin, bir sınıftaki not ortalaması 20 ve varyansı 25 olan bir normal dağılımda, 22'den daha az not alınma olasılığını hesaplamak için:

$X\sim N(20,25)$

şeklinde tanımlama yapılır ve bu veriler standart normal dağılıma dönüştürülür:

$\frac{22-20}{5}=Z\sim N(0,1)$

P(X<22) = P(Z<(22-20)/5) = P(Z<0.4) olur. Standart normal dağılım tablosundan 0.4 olasılığı bulunarak P(Z<0.4) ≈ 0,6554 elde edilir. Bu durumda 22'den daha az not alma olasılığı yaklaşık %65 olarak hesaplanır. Normal dağılım, üniversitelerde not dağılımını hesaplamak için kullanıldığı için sıklıkla "çan eğrisi" olarak da adlandırılır.

Standart normal dağılımın olasılık gösterimleri:

P(Z>Z₀) = 1 - P(Z<Z₀) P(Z<-Z₀) = 1 - P(Z<Z₀) P(Z>-Z₀) = P(Z<Z₀) [Normal dağılımın simetrik olması nedeniyle] P(Zₐ<Z<Z_b) = P(Z<Z_b) - P(Z<Zₐ) P(-Zₐ<Z<Z_b) = P(Z<Z_b) - [1 - P(Z<Zₐ)] = P(Z<Z_b) + P(Z<Zₐ) - 1