Van Stockum tozu

Genel görelilikte, Van Stockum tozu Einstein alan denklemlerinin silindirik simetri ekseni etrafında dönen tozun oluşturduğu yer çekimi alanı için kesin sonucudur. Tozun yoğunluğu eksenin uzaklığıyla beraber arttığı için çözüm oldukça yapay olmakla kalmaz, aynı zamanda genel görelilikteki bilinen en basit çözümlerden biri olmasının yanı sıra Pedagojik olarak önemli örneklerden biri olarak gösterilir.

Bu çözüm ismini Willem Jacob Van Stockum'dan almıştır, kendisi 1937 yılında, Cornelius Lanczos'un 1924 yılında keşfettiği olayın bağımsızlığını yeniden keşfetmiştir.

Türetme

Bu çözümü elde etme yollarından biri de katı rotasyon içindeki silindirik olarak harika simetriye bakmaktır (akışkan çözümleri). Dünya hatları ile zamansal uyumlu sıvı parçacıkların sıfırdan farklı girdap olan ancak genişleme ve kesme kaybolan formda olduğunu kabul ediyoruz. (İşin aslı, toz parçacıkları kuvvet hissetmedikleri için, bunun bir zamansal jeodezik uyum olduğu ortaya çıkacak ama bunu ileri işlemlerde böyle kabul etmemize gerek yoktur).

Tahmin yürüterek yaptığımız basit hesaplamalar aşağıdaki sisteme ihtiyaç duyar, bu da iki tane belirlenmemiş $r$ ye bağlı fonksiyonu içerir:

${\overrightarrow{e}}_0={\partial }_t,{\overrightarrow{e}}_1=f(r){\partial }_z,{\overrightarrow{e}}_2=f(r){\partial }_r,{\overrightarrow{e}}_3=\frac{1}{r}{\partial }_{\varphi }-h(r){\partial }_t$

Yanlış anlaşılmalardan kaçınmak için, aşağıdaki işlemi uygulamalıyız:

${\sigma }^0=-dt+h(r)rd\varphi ,{\sigma }^1=\frac{1}{f(r)}dz,{\sigma }^2=\frac{1}{f(r)}dr,{\sigma }^3=rd\varphi$

Böylece metrik tensörü iki tanımlanmayan faktör cinsinden verir:

$g=-{\sigma }^0\otimes {\sigma }^0+{\sigma }^1\otimes {\sigma }^1+{\sigma }^2\otimes {\sigma }^2+{\sigma }^3\otimes {\sigma }^3$

Verilerimizi çarparsak

$d{s}^2=-d{t}^2-2h(r)rdtd\varphi +(1-h(r{)}^2)r^{2}d{\varphi }^2+\frac{d{z}^2+d{r}^2}{f(r{)}^2}$

$-\mathrm{\infty }<t,z<\mathrm{\infty },0<r<\mathrm{\infty },-\pi <\varphi <\pi$

Bu sisteme göre iki tanımlanmayan fonksiyon cinsinden Einstein tensörünü bulmuş oluruz ve akışkan çözümlerinin sonucundan zaman benzeri birim vektör ${\overrightarrow{e}}_0$ oluştururuz sıvı parçacığına tanjant çizgisi olan her yer için. Böylece şu sonuca ulaşırız:

$G^{\hat{m}\hat{n}}=8\pi \mu \mathrm{diag}(1,0,0,0)+8\pi p\mathrm{diag}(0,1,1,1)$

Bu aşağıdaki koşulları vermektedir:

$f^{\prime \prime }=\frac{(f^{\prime }{)}^2}{f}+\frac{f^{\prime }}{r},(h^{\prime }{)}^2+\frac{2h^{\prime }h}{r}+\frac{h^2}{r^2}=\frac{4f^{\prime }}{rf}$

$f$ yi çözüp $h$ değeri için uygun sistemler Van Stockum çözümünü tanımlamaktadır:

${\overrightarrow{e}}_0={\partial }_t,{\overrightarrow{e}}_1=\exp (a^2{r}^2/2){\partial }_z,{\overrightarrow{e}}_2=\exp (a^2{r}^2/2){\partial }_r,{\overrightarrow{e}}_3=\frac{1}{r}{\partial }_{\varphi }-ar{\partial }_t$

Bu sistemin sadece $r>0$ da tanımlı olduğu unutulmamalıdır.

Özellik

Bizim çerçeveye göre Einstein tensör Computing aslında basınç kaybolur gösterir, bu yüzden bir toz çözümümüz var. Toz kütle yoğunluğu şu şekilde ortaya çıkıyor.

$\mu =\frac{a^2}{2\pi }\exp (a^2{r}^2)$

$r=0$ simetri ekseninde bu sonludur, ama yoğunluk yarıçap ile beraber artar ama maalesef bu astrofiziğin sınırladığı özelliklerden biridir.

Gösterilen Killing denklemlerini çözersek aşağıdakiler tarafından oluşturulan

${\overrightarrow{\xi }}_1={\partial }_t,{\overrightarrow{\xi }}_2={\partial }_z,{\overrightarrow{\xi }}_3={\partial }_{\varphi }$

Burada, ${\overrightarrow{\xi }}_1$ sıfırdan farklı girdap vardır, bu yüzden, hem de bu eksen etrafında silindirik simetri ve dönme ekseni boyunca çeviri altında toz partiküllerinin dünya çizgisinde çeviri altında sabit bir uzay-değişmeyen var.

Gödel toz çözeltisi aksine, van Stockum toz parçacıkları geometrik seçkin eksen etrafında dönen vardır toz unutmayın.

Denildiği gibi ${\overrightarrow{e}}_0$ bileşeni kaybolur ama vorticity vektörü şu şekildedir.

$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}=-a\exp (a^2{r}^2/2){\overrightarrow{e}}_1$

Bu da, toz parçacıklarının dünya çizgileri bizim eşzamanlı grafiğimizde dikey çizgiler olarak görünse de, aslında toz parçacıkları simetri ekseni etrafında dönerken birbirleri etrafında döndükleri anlamına gelir. Başka bir deyişle, küçük bir toz topunun evrimini takip edersek, kendi ekseni etrafında döndüğünü ($r=0$ a parallel), ancak kaymadığını veya genişlemediğini görürüz; ikinci özellikler katı dönme ile ne kastettiğimizi tanımlar. Eksenin kendisinde, Çevri vektörünün büyüklüğünün basitçe $a$ olduğuna dikkat edin.

Tidal tensörü;

$E_{\hat{m}\hat{n}}=a^2\exp (a^2{r}^2)\mathrm{diag}(0,1,1)$

bu toz parçacıkları üzerinde sürme gözlemci dönme düzlemi içinde izotropik gelgit gerilme geçirmektedir göstermektedir. Magnetogravitic tensör olduğunu

$B_{\hat{m}\hat{n}}=-a^3\exp (a^2{r}^2)\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Gerçek Paradoks

Dışa doğru gittiğimizde, görüyoruz ki daha büyük radii'li horizontal yuvarlaklar kapalı zamanımsı (zaman benzeri) eğridirler (curve) (yani büyük radiili horizanlar yuvarlaklar – kapalı zamanımsı eğri). Bu CTC lerin paradoksal yapısına ilk olarak van Stockum dikkat çekmişti: World lineları kapalı zamanımsı eğri oluşturan gözlemciler rahatça kendi geçmişlerini ziyaret edebilirler veya etkileyebilirler. Daha da kötüsü, böyle bir gözlemciyi, üçüncü hayatında (lifetime) örneğin hızlanmayı durdurmaya karar vermesini engelleyebilecek hiçbir şey yoktur ve bu durum ona bir den fazla biyografi verir

Kapalı zamansı (timelike) kıvrımlar genel göreliliğin birçok çözümünde ortaya çıkabilirler ve ortak ortaya çıkışları/görünüşleri bu teoriye en sorunsal teorik itirazlardan biridir. Ancak çok az fizikçi böyle itirazların temelinde tamamen genel göreliliği kullanmayı reddederler. Tercihen çoğu pragmatik tutum alarak her ne zaman onunla (genel görelilik) kurtulmak isterse teorinin birçok astrofiziksel durumda göreceli basitliği ve iyi kurulmuş güvenilirliği sayesinde göreceli olarak mantıklı gelir. Bu birçok fizikçinin her gün Newton Fiziği'ni kullanmasına benzer değildir, öyle olsa bile onlar bunun Galilei kinematiklerinin görelilik kinematikleri tarafından "yıkıldığının" çok iyi farkındalar

Kaynakça

1. Şablon:Dergi kaynağı Lanczos's paper announcing the first discovery of this solution.
2. Şablon:Dergi kaynağı Van Stockum's paper announcing his rediscovery of this solution.