Verlet entegrasyonu

Verlet entegrasyonu, Newton'un hareket denklemlerini uygulamak için kullanılan nümerik yöntemlerden biridir. Genellikle Moleküler dinamik simülasyonlarında parçacıkların bir sonraki zaman dilimindeki konumlarını belirlemek için kullanılır. Hız hesaplaması yerine sadece o anki konum, önceki konum ve o anki ivmeyi kullanan bu yöntem Euler yönteminden daha isabetlidir ve gerektirdiği işlem sayısı pek farklı değildir. İlk defa 1791 yılında Delambre tarafından kullanılmıştır ve o zamandan beri çok kez yeniden keşfedilmiştir: 1909'da Cowell and Crommelin tarafından Halley kuyruklu yıldızı'nın yörüngesini hesaplamak için veya 1907'de Carl Størmer tarafından manyetik alandaki elektrik yüklü parçacıkların yörüngesini incelemek için kullanılması gibi (ayrıca bu yüzden Störmer yöntemi de denir). Daha sonra 1960'larda Loup Verlet tarafından moleküler dinamikte kullanıldı.

Temel Størmer-Verlet entegrasyonu

İkinci dereceden bir diferansiyel denklem olan $\ddot{𝐱}(t)=𝐀(𝐱(t))$ denklemi, başlangıç koşulları $𝐱(t_0)={𝐱}_0$ ve $\dot{𝐱}(t_0)={𝐯}_0$ ile birlikte, $t_n=t_0+n\mathrm{\Delta }t$ zaman aralığında yaklaşık olarak, ${𝐱}_n\approx 𝐱(t_n)$, aşağıdaki yöntemle elde edilebilir:

1. Birinci eleman ${𝐱}_1$'in değeri için: ${𝐱}_1={𝐱}_0+{𝐯}_0\mathrm{\Delta }t+\frac{1}{2}𝐀({𝐱}_0)\mathrm{\Delta }{t}^2$,
2. Serinin diğer elemanları için, n = 1, 2, ... olmak şartıyla: $${𝐱}_{n+1}=2{𝐱}_n-{𝐱}_{n-1}+𝐀({𝐱}_n)\mathrm{\Delta }{t}^2.$$

Hareket Denklemleri

Enerjinin korunduğu fiziksel sistemler için Newton'un hareket denklemi:

$𝑴\ddot{𝐱}(t)=F(𝐱(t))=-\mathrm{\nabla }V(𝐱(t)),$

ya da ayrı ayrı her bir kütle için:

$m_k\ddot{𝐱}k(t)=F_k(𝐱(t))=-\mathrm{\nabla }{𝐱}_{k}V(𝐱(t)),$

olarak ifade edilebilir. Burada:

• $t$ zamanı ifade eder,
• $𝐱(t)=({𝐱}_1(t),\dots ,{𝐱}_N(t))$, $N$ sayıdaki cisimlerin konum vektörlerinin kümesidir,
• $V$ skaler potansiyel fonksiyonudur,
• $F$, parçacıklar üzerindeki kuvvetlerin kümesini veren Potansiyel gradyanının negatifidir,
• $𝑴$, her bir parçacık için $m_k$ kütlelerine sahip bloklarla genellikle diyagonal olan kütle matrisidir.

Bu denklem, potansiyel fonksiyonu $V$'nin farklı seçimleri için, etkileşen moleküllerin hareketinden gezegenlerin yörüngelerine kadar çeşitli fiziksel sistemlerin hareketini tanımlamak için kullanılabilir.

Kütleyi denklemin sağ tarafına almak ve birden fazla parçacığın etkileşimli yapısını ihmal etmek için yapılan dönüşümlerden sonra, denklem şu şekilde basitleştirilebilir:

$\ddot{𝐱}(t)=𝐀(𝐱(t)).$

Burada $𝐀(𝐱)$, konuma bağlı ivmeyi temsil eden sisteme uygun bir vektör değerli fonksiyondur. Genellikle, başlangıç konumu $𝐱(0)={𝐱}_0$ ve başlangıç hızı $𝐯(0)=\dot{𝐱}(0)={𝐯}_0$ ifadeleri ile verilir.

Verlet integrasyonu (hızlar olmadan)

Bu başlangıç değer problemini sayılabilir aralıklara bölerek çözmek için, bir zaman adımı $\mathrm{\Delta }t>0$ seçilir ve zaman dizisi $t_n$, $t_n=n\mathrm{\Delta }t$ olarak ele alınır. Amaç, kesin çözümün yörüngesi üzerindeki $𝐱(t_n)$ noktalarını yakından takip eden bir ${𝐱}_n$ noktalar dizisi oluşturmaktır.

Euler yöntemi, birinci dereceden diferansiyel denklemlerde birinci türev için ileri fark yaklaşımını kullanırken, Verlet integrasyonu, ikinci türev için merkezi fark yaklaşımını kullanır:

$\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{\Delta }}^2{𝐱}_n}{\mathrm{\Delta }{t}^2}& =\frac{\frac{{𝐱}_{n+1}-{𝐱}_n}{\mathrm{\Delta }t}-\frac{{𝐱}_n-{𝐱}_{n-1}}{\mathrm{\Delta }t}}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\frac{{𝐱}_{n+1}-2{𝐱}_n+{𝐱}_{n-1}}{\mathrm{\Delta }{t}^2}={𝐚}_n=𝐀({𝐱}_n).\end{array}$

Verlet integrasyonu, Størmer yöntemi olarak kullanılan formda, hızı kullanmadan, yalnızca önceki iki konum vektörünü kullanarak bir sonraki konum vektörünü elde etmek için şu denklemi kullanır:

$\begin{array}{cc}{𝐱}_{n+1}& =2{𝐱}_n-{𝐱}_{n-1}+{𝐚}_n\mathrm{\Delta }{t}^2,\\ {𝐚}_n& =𝐀({𝐱}_n).\end{array}$

Burada çözüme ulaşmak için ${𝐱}_{n+1}$ terimi yalnız bırakılmıştır.

Hızların Hesaplanması – Størmer–Verlet yöntemi

Hızlar, temel Størmer denklemlerinde açıkça verilmemiştir, ancak genellikle kinetik enerji gibi bazı fiziksel niceliklerin hesaplanması için gereklidir. Bu, moleküler dinamik simülasyonlarında teknik zorluklar yaratabilir, çünkü bir sistemdeki kinetik enerji ve anlık sıcaklıklar, $t+\mathrm{\Delta }t$ zamanındaki konumlar bilinmeden hesaplanamaz. Bu eksiklik, ya velocity Verlet algoritması kullanılarak ya da konum terimleri ve ortalama değer teoremi kullanılarak hızın tahmin edilmesiyle giderilebilir.

$𝐯(t)=\frac{𝐱(t+\mathrm{\Delta }t)-𝐱(t-\mathrm{\Delta }t)}{2\mathrm{\Delta }t}.$

Bu hız terimi, konum teriminden bir adım geridedir, çünkü bu $t+\mathrm{\Delta }t$ anındaki hıza değil, $t$ anındaki hıza karşılık gelir. Yani, ${𝐯}_n=\frac{{𝐱}_{n+1}-{𝐱}_{n-1}}{2\mathrm{\Delta }t}$ ifadesi, $𝐯(t_n)$ için ikinci dereceden bir yaklaşımdır.

Verlet Hız Algoritması

Sistem ile ilgili ve daha yaygın olarak kullanılan bir diğer algoritma ise Verlet hız algoritmasıdır. Bu yöntem, hız hesabı için yukarıda verilen yöntem ile benzer bir yaklaşıma sahiptir fakat hızı açıkça dahil ederek, temel Verlet algoritmasındaki adım problemini çözer:

$\begin{array}{cc}𝐱(t+\mathrm{\Delta }t)& =𝐱(t)+𝐯(t)\mathrm{\Delta }t+\frac{1}{2}𝐚(t)\mathrm{\Delta }{t}^2,\\ 𝐯(t+\mathrm{\Delta }t)& =𝐯(t)+\frac{𝐚(t)+𝐚(t+\mathrm{\Delta }t)}{2}\mathrm{\Delta }t.\end{array}$