Wallis çarpımı

Matematikte, Wallis çarpımı, $\pi$ sayısını sonsuz çarpım olarak veren bir ifadedir. 1656'da John Wallis tarafından yayınlanmıstır ve şu şekilde ifade edilmektedir:

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})\\ & =(\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3})\cdot (\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5})\cdot (\frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7})\cdot (\frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9})\cdot \cdots \\ \end{array}$

İntegral yoluyla kanıt

Wallis bu sonsuz çarpımı enterpolasyon kullanarak türetmiştir; ancak, yöntemi titiz olarak kabul edilmemektedir. Daha modern bir çıkarım, $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n}xdx$ integrali n tek ve çift değerler alırken incelenerek elde edilebilir.

Wallis integrallerinin bir hali olan

$I(n)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n}xdx$

tanımlayalım. Kısmi integral yöntemi kullanarak

$\begin{array}{cc}u& ={\sin }^{n-1}x\\ \Rightarrow du& =(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx\\ dv& =\sin xdx\\ \Rightarrow v& =-\cos x\end{array}$

$\begin{array}{cc}\Rightarrow I(n)& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n}xdx\\ & =-{\sin }^{n-1}x\cos x{|}_0^{\pi }-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(-\cos x)(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx\\ & =0+(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{2}x{\sin }^{n-2}xdx,n>1\\ & =(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(1-{\sin }^{2}x){\sin }^{n-2}xdx\\ & =(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n-2}xdx-(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n}xdx\\ & =(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)\\ & =\frac{n-1}{n}I(n-2)\\ \Rightarrow \frac{I(n)}{I(n-2)}& =\frac{n-1}{n}\\ \end{array}$

Şimdi, kolaylık olması açısından iki değişken ikâmesi yaparak şunu elde edelim:

$I(2n)=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)$

$I(2n+1)=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)$

$I(0)$ ve $I(1)$ değerleri sonradan kullanmak üzere hemen ve kolaylıkla hesapalanabilir.

$\begin{array}{cc}I(0)& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}dx=x{|}_0^{\pi }=\pi \\ I(1)& =\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin xdx=-\cos x{|}_0^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2\\ \end{array}$

Çift değerler için hesaplamak için $I(2n)$ bağlantısını tekrarlayarak kullanıyoruz ve daha önce hesaplanan $I(0)$ değerinde duruyoruz:

$I(2n)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2n}xdx=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)$

$=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}\cdot \frac{2n-5}{2n-4}\cdot \cdots \cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}I(0)=\pi \prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}$

Tek değerler için de benzer bir yöntem takip edilebilir ve $I(1)$ değerinde durulur:

$I(2n+1)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2n+1}xdx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)$

$=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-3}\cdot \cdots \cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}I(1)=2\prod _{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}$

Ayrıca, $\sin x\le x$ gerçeğine dayanarak

${\sin }^{2n+1}x\le {\sin }^{2n}x\le {\sin }^{2n-1}x,0\le x\le \pi$

$\Rightarrow I(2n+1)\le I(2n)\le I(2n-1)$

olduğunu gözlemliyoruz. Her iki tarafı $I(2n+1)$ ile bölerek ve ayrıca $I(2n)=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)$ ve $I(2n+1)=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)$ bağlantılarını kullanarak

$\Rightarrow 1\le \frac{I(2n)}{I(2n+1)}\le \frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}$

elde ediyoruz. Sıkıştırma teoremi ile

$\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1$

elde edilir. Yani,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi }{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{k=1}^n(\frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k+1}{2k})=1$

$\Rightarrow \frac{\pi }{2}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2k}{2k-1}\cdot \frac{2k}{2k+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \cdots$

elde edilir.

Sinüs fonksiyonu için Euler'in sonsuz çarpımını kullanarak kanıt

Yukarıdaki ispat genellikle modern kalkülüs ders kitaplarında yer alsa da, geriye dönüp bakıldığında Wallis çarpımı, sinüs fonksiyonu için daha sonra elde edilmişl olan Euler sonsuz çarpımının kolay bir sonucu olarak ortaya çıkar.

$\frac{\sin x}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2{\pi }^2})$

$x=\frac{\pi }{2}$ olsun. O zaman,

$\begin{array}{cc}\Rightarrow \frac{2}{\pi }& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4n^2})\\ \Rightarrow \frac{\pi }{2}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdots \end{array}$   

Stirling yaklaşımıyla ilişkisi

Faktöriyel fonksiyonu $n!$ için ifade edilen Stirling yaklaşımı şunu ifade eder:

$n!=\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n[1+O\left(\frac{1}{n}\right)].$

Wallis çarpımındaki sonlu çarpımları ele elalım:

$p_k=\prod _{n=1}^k\frac{2n}{2n-1}\frac{2n}{2n+1}.$

Bu çarpımları yeniden düzenleyerek

$\begin{array}{cc}{p}_k& =\frac{1}{2k+1}\prod _{n=1}^k\frac{(2n{)}^4}{[(2n)(2n-1){]}^2}\\ & =\frac{1}{2k+1}\cdot \frac{2^{4k}(k!{)}^4}{[(2k)!{]}^2}.\end{array}$

yazabiliriz. Bu ifadede Stirling yaklaşımını hem $k!$ hem de $(2k)!$ için kullanırsak, $p_k$'nin $k\to \mathrm{\infty }$ iken $\frac{\pi }{2}$ ifadesine yakınsadığı gösterilebilir.

Riemann zeta fonksiyonunun sıfır noktasında türevi

Riemann zeta fonksiyonu ve Dirichlet eta fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir:

$\begin{array}{cc}\zeta (s)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s},\mathrm{\Re }(s)>1\\ \eta (s)& =(1-2^{1-s})\zeta (s)\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s},\mathrm{\Re }(s)>0\end{array}$

Son seriye Euler dönüşümü uygulandığında aşağıdaki elde edilir:

$\begin{array}{cc}\eta (s)& =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}[\frac{1}{n^s}-\frac{1}{(n+1{)}^s}],\mathrm{\Re }(s)>-1\\ \Rightarrow {\eta }^{\prime }(s)& =(1-2^{1-s}){\zeta }^{\prime }(s)+2^{1-s}(\ln 2)\zeta (s)\\ & =-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}[\frac{\ln n}{n^s}-\frac{\ln (n+1)}{(n+1{)}^s}],\mathrm{\Re }(s)>-1\end{array}$

$\begin{array}{cc}\Rightarrow {\eta }^{\prime }(0)& =-{\zeta }^{\prime }(0)-\ln 2=-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}[\ln n-\ln (n+1)]\\ & =-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\ln \frac{n}{n+1}\\ & =-\frac{1}{2}(\ln \frac{1}{2}-\ln \frac{2}{3}+\ln \frac{3}{4}-\ln \frac{4}{5}+\ln \frac{5}{6}-\cdots )\\ & =\frac{1}{2}(\ln \frac{2}{1}+\ln \frac{2}{3}+\ln \frac{4}{3}+\ln \frac{4}{5}+\ln \frac{6}{5}+\cdots )\\ & =\frac{1}{2}\ln (\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \cdots )=\frac{1}{2}\ln \frac{\pi }{2}\\ \Rightarrow {\zeta }^{\prime }(0)& =-\frac{1}{2}\ln \left(2\pi \right)\end{array}$

Ayrıca bakınız

• John Wallis
• Viète formülü
• Wallis eleği
• Leibniz serisi
• Pippenger çarpım formülü

Dş bağlantılar

• Şablon:Springer
• Şablon:Web kaynağıŞablon:Cbignore