Zeta dağılımı

Şablon:Olasılık dağılımı Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, zeta dağılımı bir ayrık olasılık dağılımıdır. Eğer X s parametresi ile zeta dağılımı gösteren bir bir rassal değişken ise, Xin k tam sayısı değerini almasının olasılığı şu olasılık kütle fonksiyonu ile belirtilir:

$f_s(k)=k^{-s}/\zeta (s)$

Burada ζ(s) Riemann zeta fonksiyonu olur (ama bu fonksiyon s = 1 tanımlanamaz.).

Sonsuz değerde N için zeta dağılımı Zipf dağılımına eşit değerdedir. O zaman Zipf dağılımı ve zeta dağılım aynı anlamı verdikleri için birbiriyle kavram farkı vermeden değiştirilebilip kullanılırlar.

Momentler

Genel olarak, ninci ham moment Xⁿin beklenen değeri olarak şöyle tanımlanır:

$m_n=E(X^n)=\frac{1}{\zeta (s)}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{s-n}}$

Bu ifadenin sağ tarafında bulunan seri bir Rieman zeta funksiyonu temsil eden seridir. Ancak bu serinin yakınsaması sadece s-n değeri birden büyük ise mümkün olmaktadır. Böylece zeta dağılımı için moment

$m_n=\{\begin{array}{cc}\zeta (s-n)/\zeta (s)& \text{for}n<s-1\\ \mathrm{\infty }& \text{for}n\ge s-1\end{array}$

olur. Hatırlamak gerekir ki iki zeta fonksiyonunun oranı, n ≥ s - 1 ifadesi için bile, çok kesin olarak tanımlanmıştır. Ama bu yine de, momentlerin seri için tanımlandığı ve bu nedenle büyük bir n değeri için tanımlanamadığı gerçeğini değiştirmez'

Moment üreten fonksiyon

Genel olarak, moment üreten fonksiyon şöyle tanımlanır:

$M(t;s)=E(e^{tX})=\frac{1}{\zeta (s)}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{tk}}{k^s}.$

Bu seri gerçekte yalnızca bir polilogaritma'nin tanımlanmasıdır ve $e^t<1$ için geçerlidir ve bu halde

$M(t;s)=\frac{{\mathrm{Li}}_s(e^t)}{\zeta (s)}\text{ for }t<0.$

Bu fonksiyonun bir Taylor serisi yöntemi kullanılarak genişletilmesi mutlaka bir dağılım için momentleri vermez. Genellikle, moment üreten fonksiyonlara dayanarak elde edilen momentleri kullanan Taylor serileri şu ifedeyi ortaya çıkartır:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{m_n{t}^n}{n!},$

Bu ifade, büyük n değerleri icin momentlerin sonsuz olduğu gerçeği göz önüne getirilirse, besbellidir ki herhangi bir s 'nin sonsuz olmayan değeri için kesin olarak tanımlanamaz. Momentler yerine analitik olarak sürekli terimleri kullanırsak, polilogaritmayi temsil eden seriden

$|t|<2\pi$

için şu ifadeyi elde ederiz:

$\frac{1}{\zeta (s)}\sum _{n=0,n\ne s-1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (s-n)}{n!}{t}^n=\frac{{\mathrm{Li}}_s(e^t)-\mathrm{\Phi }(s,t)}{\zeta (s)}$

$\mathrm{\Phi }(s,t)$ değeri şöyle verilir

$\mathrm{\Phi }(s,t)=\mathrm{\Gamma }(1-s)(-t{)}^{s-1}\text{ for }s\ne 1,2,3\dots$

$\mathrm{\Phi }(s,t)=\frac{t^{s-1}}{(s-1)!}[H_s-\ln (-t)]\text{ for }s=2,3,4\dots$

$\mathrm{\Phi }(s,t)=-\ln (-t)\text{ for }s=1,$

burada H_s bir harmonik sayı olur.

s=1 hali

Harmonik seri olduğu için ζ(1) sonsuz değerdedir ve bu nedenle s=1 olma hali anlamlı değildir. Ama eğer A yoğunluğu bulunan herhangi bir pozitif tam sayılar seti ise yani

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{N(A,n)}{n}$

var olmakta ise ve burada N(A, n) A seti içinde bulunan ve n değerine eşit veya bu değerden daha küçük set elemanlarının sayısı ise, şu ifade

$\underset{s\to 1+}{\lim }P(X\in A)$

bu yoğunluğa eşittir.

Bazı hallerde A için yoğunluk yok olması nedeniyle verilen ikinci sınır geçerli olur. Örnegin, eğer A birinci tam sayısı ;d olan bütün pozitif tam sayıların bir seti ise, A için bir yoğunluk bulunmaz. Ancak bu halde bile yukarıda verilen ikinci sınırlama geçerli olur ve bu sınırlama şu ifadeye oranlıdır:

$\log (d+1)-\log (d),$

Buna benzer yöntem aynen Benford'un savının geliştirilmesi için de kullanılır.

Ayrıca bakınız

Diğer güç-savı dağılımları şunlardır:

• Benford'un savı
• Cauchy dağılımı
• Pareto dağılımı

Dış bağlantılar

• Allan Gut'un "Reieman zeta dağılımı" olarak andığı X bir rassal değişken olarak -log X, ifadesinin dağılımıdır. Bu kavram genellikle ve bu maddede zeta dağılımı olarak anılmaktadır