Örgü grubu

Matematikte, Artin Örgü Grubu olarak da bilinen n iplik üzerindeki örgü grubu ($B_n$ ile gösterilir), elemanları n-örgülerin denklik sınıfları olan gruptur. Örgü gruplarının örnek uygulamaları arasında düğüm teorisi (knot theory), matematiksel fizikte; Artin'in örgü grubunun Yang-Baxter denklemine karşılık geldiği kanonik sunumu (matematiksel fizik konusu) ve cebirsel geometrinin monodromy değişmezleri yer alırlar.

Tarihi

Örgü grupları, 1925'te Emil Artin tarafından açık bir şekilde tanıtıldı, ancak (Wilhelm Magnus'un 1974'te işaret ettiği gibi), Adolf Hurwitz'in, 1891 yılı "Monodromy" çalışmasında zaten üstü kapalı bir şekilde geçiyordu. 1947'de Emil Artin tarafından açıkça tanımlanabileceği gibi, Örgü grupları ayrıca daha derin bir matematiksel yorumla da tanımlanır: belirli konfigürasyon uzaylarının temel grubu olarak.

$I=[0,1]$ aralığı olmak üzere aşağıdaki şartları sağlayan $b\subset {ℝ}^2\times I$ kümesine n-ipli örgü denir.

⋅ $b$ kümesi $n$ tane ayrık ipten oluşur. Bu iplerin her biri ${ℝ}^2\times I\to I$ projeksiyonu altında $I$ birim aralığına homeomorfdur. Kısacası her ip $z=t,0\le t\le 1$ düzleminden sadece bir kere geçmektedir.

⋅ $b\cap ({ℝ}^2\times \{0\})=\{(1,0),(2,0),...,(n,0)\}\times \{0\}$

⋅ $b\cap ({ℝ}^2\times \{1\})=\{(1,0),(2,0),...,(n,0)\}\times \{1\}$

Temel Özellikler

$n$ tane ipten oluşan ve $B_n$ olarak gösterilen bir Artin örgü grubu, $n\ge 2$ için ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_{n-1}$ üreteçleri ile üretilen ve aşağıdaki ilişkileri sağlayan bir gruptur.

i) ${\sigma }_i{\sigma }_j={\sigma }_j{\sigma }_i,|i-j|\ge 2$

ii) ${\sigma }_{i+1}{\sigma }_i{\sigma }_{i+1}={\sigma }_i{\sigma }_{i+1}{\sigma }_i,1\le i\le n-2$

Kısaca $B_n=⟨{\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_{n-1}⟩$ şeklinde de gösterilir.

${𝐁}_{\mathrm{𝟏}}$ örgü grubunda tüm örgüler tek bir ip üzerinde oluşur. Trivial bir gruptur.

${𝐁}_{\mathrm{𝟐}}$ grubundaki örgüler iki ipin bükülmesi ile oluşur. Bir yönde bir büküm vererek $+1$ değeri ve diğer yönde bir büküm ile $-1$ değeri elde edilir. Bu sayede $B_2$ grubunun $(\mathbb{Z},+)$ grubuna izomorfik olduğu görülür.

B1 grubu ve B1 grubu

${𝐁}_{\mathrm{𝟑}}=⟨{\sigma }_1,{\sigma }_2|{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1={\sigma }_2{\sigma }_1{\sigma }_2⟩$ grubu sonsuzdur ve değişmeli değildir. Elemanları aşağıdaki gibidir.

 grubun birim elemanı  σ1  ve σ2

${𝐁}_{\mathrm{𝟒}}=⟨{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3|{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_1={\sigma }_2{\sigma }_1{\sigma }_2,{\sigma }_2{\sigma }_3{\sigma }_2={\sigma }_3{\sigma }_2{\sigma }_{3}ve{\sigma }_1{\sigma }_3={\sigma }_3{\sigma }_1⟩$grubundaki her örgü bu 3 örgü ve tersleri ile yazılabilir, bu yüzden bu 3 örgü ${𝐁}_{\mathrm{𝟒}}$'ü temsil eder.

 grubun birim elemanı σ1 σ2 ve σ3

Konfigürasyon Uzayı ile İlişkisi

Kompleks uzayda $n$ tane sıralı ve birbirinden farklı nokta düşünelim. Bu noktaların oluşturduğu konfigürasyon uzayı aşağıdaki gibi tanımlanır:

 ${\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}=\{(z_1,\dots ,z_n)\in {ℂ}^n;z_i\ne z_j,\mathrm{\forall }i\ne j\}$

Pür Örgü Grubu

$n$ ipten oluşan pür örgü grubu $\mathrm{P}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}$ ile gösterilir ve ${\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}$ uzayının temel grubudur. $\mathrm{P}{\mathrm{B}}_{\mathrm{n}}={\pi }_1({\mathrm{M}}_{\mathrm{n}})$

Bir pür örgü $\beta \in {\pi }_1({\mathrm{M}}_{\mathrm{n}})$, ${\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}$ uzayı içerisinde bir düğümdür. Yani, aynı noktada başlayıp aynı noktaya geri döner.

$\beta :[0,1]\to {\mathrm{M}}_{\mathrm{n}}$

$t\mapsto \beta (t)=({\beta }_1(t),\dots ,{\beta }_n(t))$

Diğer Özellikler

$n=1$ için ${\mathrm{M}}_{\mathrm{1}}=ℂ$'dir. Rastgele bir $z\in {\mathrm{M}}_{\mathrm{1}}$ alalım. O halde $1$ ipli pür örgü grubu $z$'den $z$'ye giden morfizmaların kümesi olur. Sonuç olarak ${\pi }_1({\mathrm{M}}_{\mathrm{1}})=⟨{\mathrm{id}}_z⟩$ elde edilir.

$n=2$ olsun. O halde ${\mathrm{M}}_{\mathrm{2}}=\{(z_1,z_2)\in {ℂ}^2|z_1\ne z_2\}$ olur. Bu uzayın temel grubu $\mathbb{Z}$ kümesine izomorftur. Sonuç olarak $\mathrm{P}{\mathrm{B}}_{\mathrm{2}}\cong \mathbb{Z}$.

$𝐒{𝐋}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{(}\mathbb{Z}\mathbf{)}$ Özel lineer grup olarak adlandırılır, determinantı $1$ olan $2\times 2$ tam sayı matrislerinin grubudur.

$𝐏𝐒{𝐋}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{(}\mathbb{Z}\mathbf{)}$ Projektif özel lineer grup olarak adlandırılır, $𝐒{𝐋}_{\mathrm{𝟐}}\mathbf{(}\mathbb{Z}\mathbf{)}/$ {$\pm I$}' e eşittir, öyle ki $I$, $2\times 2$ birim matrislerdir.